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马氏链模型习题

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  • 卖家[上传人]:suns****4568
  • 文档编号:89283257
  • 上传时间:2019-05-22
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    • 1、马氏链模型习题,范萌萌 2018.7.14,马氏链模型,系统在每个时期所处的状态是随机的.,从一时期到下时期的状态按一定概率转移.,下时期状态只取决于本时期状态和转移概率. 已知现在,将来与过去无关(无后效性),描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型.,马氏链 (Markov Chain) 时间、状态均为离散的随机转移过程,具有无后效性的,时间、状态均为离散的随机转移 过程,通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。,马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域 有广泛应用,不仅可以解决随即转移过程,还可以 处理一些确定性系统的状态转移问题。,马氏链的基本方程,基本方程,马氏链的两个重要类型,1. 正则链 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态 (如例1) .,w 稳态概率,马氏链的两个重要类型,2. 吸收链 存在吸收状态(一旦到达就不会离开的状态i, pii=1),且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态 (如例2).,有r个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式,R有非零元素,yi 从第 i 个非吸收状态出发,被某个吸收状态吸收前的平均转移次

      2、数.,信息传播问题,一条消息在,等人中传播,传播,的方式是,传给,传给,如此继续下去,每次传播都是由,传给,每次传播消息的失真率为,即,将消息传给,时,传错的概率为,这样经过长时间传播第n个人得知消息时,消息 的真实程度如何?,习题1,第n个人知道消息可能是真,也可能是假,有两种状态,记为,表示消息假;,表示消息真;,用,表示第,个人处于状态,的概率,,即状态概率为,由题意,状态转移概率矩阵为,求解,习题2,若顾客的购买是无记忆的,即已知现在顾客购买的情况,未来顾客的购买情况不受过去购买历史的影响,而只与现在购买情况有关。现在市场上供应A、B、C三个不同厂家生产的50克袋装味精。若已知第一次顾客购买三个厂味精的概率依次为0.2、0.4、0.4,又知道一般顾客的购买倾向由下表给出。(1)求顾客第四次购买各家味精的概率。(2)从长期看这三家厂商的市场占有率分别是多少?,习题2,习题2,习题3,甲、乙两人进行比赛,设每局比赛中甲胜的概率是p,乙胜的概率是q,和局的概率是r,( )。设每局比赛后,胜者记“+1”分,负者记“1”分,和局不记分。当两人中有一人获得2分结束比赛。以 表示比赛至第n局

      3、时甲获得的分数。,(1)写出状态空间;,(3)问在甲获得1分的情况下,再赛二局可以结束比赛的概率是多少?,解,(1),记甲获得“负2分”为状态1,获得“负1分”为状态2,获得“0分”为状态3,获得“正1分”为状态4,获得“正2分”为状态5,则状态空间为,一步转移概率矩阵,(2)二步转移概率矩阵,(3),从而结束比赛的概率;,从而结束比赛的概率。,所以题中所求概率为,习题4,智力竞赛问题 甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则规定:竞赛开始时,甲、乙两队各记2分,在抢答问题时,如果甲队赢得1分,那么甲队的总分将增加1分,同时乙队总分将减少1分。当甲(或乙)队总分达到4分时,竞赛结束,甲(或乙)获胜。根据队员的智力水平,知道甲队赢得1分的概率为p,失去1分的概率为 1-p,求,(1)甲队获胜的概率是多少;,(3)甲队获得1、2、3分的平均次数是多少?,(2)竞赛从开始到结束,分数转移的平均次数是多少?,解,(1),解,(1),解,(1),分析,习题5 赌徒输光问题,赌徒甲有资本a元,赌徒乙有资本b元,两人进行赌博,每赌一局输者给赢者1元,没有和局,直赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中,甲获胜

      4、的概率为p,乙获胜的概率为 ,求甲输光的概率。,这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从甲的角度看,他初始时刻处于a,每次移动一格,向右移(即赢1元)的概率为p,向左移(即输1元)的概率为q。如果一旦到达0(即甲输光)或a + b(即乙输光)这个游动就停止。这时的状态空间为0,1,2,c,c = a + b,。现在的问题是求质点从a出发到达0状态先于到达c状态的概率。,考虑质点从j出发移动一步后的情况,解,同理,根据全概率公式有,这一方程实质上是一差分方程,它的边界条件是,首页,于是,设,则可得到两个相邻差分间的递推关系,于是,欲求,先求,需讨论 r,当,而,两式相比,故,当,而,因此,故,用同样的方法可以求得乙先输光的概率,由以上计算结果可知,服务网站问题,习题6,问题分析及符号说明,问题分析 服务请求要么被拒绝或者接受,要么到达某个工作站等待处理 建模目标 分析服务请求被接受或者拒绝的概率,用随机变量,表示第 n 个阶段的状况,服务请求被拒绝,服务请求被接受,转移概率矩阵为:,可以计算为:,空气污染问题,有 k 个城市 ,每一时刻 t = 0,1,2,的空气中污染物浓度 ,从t 到t+1, 空气,中污染物扩散到 去的比例是 ,有,扩散到k个城市之外的那部分污染物永远不再回来。,在每个时刻各城市的污染源都排出一定的污染物,,记 排出的为 。,按照环境管理条例要求,,对充分大的 t 必须 。,习题7,试建立马氏链模型,在已知 和 的条件下,确定 的限制范围,满足管理条例的要求。,设 k = 3 , 由以下矩阵给出,求 的限制范围。,基本模型,污染物浓度 c(t)=(c1(t), c2(t), ck(t),ci(t) 第t 年地区i 的污染物浓度, t =0,1,2,,i=1,2, , k,转移矩阵 Q=pijkk, pij 每年污染物从地区i 转至j 的比例,Q表示污染物扩散比例, 为排放浓度。,

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