河北省武邑中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（名师解析）

1、武邑中学2018-2019学上学期高二期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以，选C.2.若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，即，即，故选A.3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设飞鸟图案的面积为，那么，几，故选B.4.按照程序框图(如图)执行，第4个输出的数是（ ）A. 4 B. 5C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，模拟运算即可求出.【详解】第一次执行程序，输出1，第二次执行程序，输出，第三次执行程序，出，第四次执行程序，输出 ，故选D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.5.设，若，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】，所以原

2、式等于 而 ， ，又因为，所以，可求得 ，那么，那么，故选B.6.在三棱柱中，若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，求得的表达式.【详解】依题意 .故选B.【点睛】本小题主要考查空间向量加法和减法的运算法则，属于基础题.7.已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，取的中点，连接 ， ，连接，点是三棱锥的外接球的球心，因为棱长都是2，所以，所以在中，那么外接球的表面积是，故选D.【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.8.执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】 时，第一次进入循环， 时，第二次进入循环，时，第三次进入循环， ，时，第四次进入循环，当时，第五次进入循环， 时，第六次进入循环， ，由此可知此循环的周期为6，当时，第

3、2016次进入循环， ，所以此时，退出循环，输出的值等于8，故选D.9.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，故选A.10.已知双曲线，是左焦点，是右支上两个动点，则的最小值是( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 16【答案】C【解析】 ，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选C.11.已知，且.若恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，利用基本不等式，可得的最小值为12，得到，即可求解实数的取值范围，得到答案。【详解】由题意，利用基本不等式，可得 ，当且仅当，时，取等号，得，解得或，故选C。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中利用基本不等式求得的最小值，合理转化恒成立问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。12.已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】A【

4、解析】原式等价于，两边取自然对数得 ，令 ，则时， 因为 当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得 ， ，单调递增，时，单调递减，若，即，当时，单调递增，矛盾；若，即 ，当时，递减，成立，综上， ，最小值为 ，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设，讨论的取值范围，使函数满足，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.正三角形的边长为1，是其重心，则_.【答案】【解析】且两向量的夹角为，即 故填： 14.命题“当时，若，则”的逆命题是_【答案】当时，若，则【解析】【分析】利用原命题与逆命题之间的关系转化即可。【详解】原命题为：“当时，若，则.”它的逆命题为：“当时，若，则.”【点睛】原命题：“若，则”；逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题

5、的条件和结论换位后再分别否定。15.已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，则椭圆离心率为_【答案】【解析】设周长为，则，又，则，又，则，故填：. 16.如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】取得中点，连接，因为，所以.因为平面平面，平面平面.所以平面，又因为，所以，于是以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，,为等边三角形，则，所以，所以 ，故异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.【

6、答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，可知，解出，得到数列的通项公式；（2）根据（1）可知，求得， ，采用错位相减法求和.试题解析：(1)由题意得，所以，时，公差，所以，时，公差，所以.(2)若数列为递增数列，则，所以，所以 ，所以，所以.18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】(1)2.3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件. ，根据事件列式求分布列和数学期望.试题解析：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别

7、为20，100，80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.则，.的分布列：012的数学期望.19.已知函数的图象过点P（1,2），且在处取得极值（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最值.【答案】（1）a=4, b=-3（2）单调增区间为，单调减区间为（3）最大值为6，最小值为【解析】试题分析：（1）本题运用待定系数法求函数解析式，但函数图象在x=处取得极值可得，通过解方程组可得到a、 b的值；（2）由导数性质求出f（x）0和f（x）0的x范围就是函数f（x）的单调区间；（3）由函数在区间-1，1上的单调性：f（x）在上是减函数，在上是增函数求出函数的最值试题解析：（1） 函数f（x）=x3+ax2+bx（a,bR）的图象过点P（1，2） f（1）=2 a+b=1 又函数f（x）在x=处取得极值点（）=0 因（x）=3x2+2 ax+b 2a+3

8、b=-1解得 a=4, b=-3 经检验 x=是f（x）极值点（2）由（1）得（x）=3x2+8x-3令（x） 0 ，得 x -3或 x令（x） 0 ，得 -3 x 函数f（x）的单调增区间为（，-3）, （,），函数f（x）的单调减区间为（-3，）（3） 由（2）知，又函数f（x）在x=处取得极小值点f（）=f（-1）=6, f（1）=2函数f（x）在-1,1上的最大值为6，最小值为考点：1函数解析式的求解及常用方法；2函数的最值及其几何意义；3利用导数研究函数单调性20.已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.(1)证明：直线过定点；(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.【答案】（I）证明见解析；（II） 【解析】试题分析：（1）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（2）根据（1）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可.试题解析：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，联立得，得，由于，所以，即，即.(*)又因为，代入(*)式得，即，所以或，即或.当时，直线方程为，恒过定点，经验证，此时，符合题意；当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，所以直线恒过定点.(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.21.如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）.【解析】分析：（）要证明，可证明，它可由证得.（）取的中点为，可证，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.详解：（）在菱形中，.又，面，.（

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