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4-3 生灭过程及排队论

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常见问题

1、随机过程生灭过程及排队论初步分析,主要内容,生灭过程特点稳态分析排队论基础排队过程的基本参数和问题排队问题的分析方法排队问题的Little定律排队问题举例例1 M/M/1/、例2 M/M/1/N 例3 顾客成批到达的排队问题例4 电话交换问题（M/M/N/N）例5 M/M/s/排队系统、例6 M/M/s/k 例7 机器维修问题,生灭过程,任何时刻，状态最多只能转移到临近状态若处于0状态，则只能转移到状态1。若在 t 时刻处于n状态，在(t,t+t)间隔内转移到状态（n+1）的概率为 n(t)t+o(t) 转移到状态（n-1）的概率为 n(t)t+o(t) 转移到其他状态的概率为 o(t),生灭过程：稳态分析,稳态方程与wn=1联立，可解平稳的条件：0nn,生灭过程：稳态分析,平稳的条件：0nn 平衡方程局部平衡方程与wn=1联立，得,生灭过程：实例,排队问题(排队论分析) 可靠性问题(可靠性分析)： M个元件组成的系统中失效元件数每个元件的正常工作时间服从负指数分布若t时刻有n个元件失效，则在(t,t+t)时间间隔内产生一个新的失效元件的概率是

2、nt+o(t)，修复一个元件的概率是nt+o(t) 在(t,t+t)间隔内多个元件失效或修复的概率是o(t) 系统正常工作至少要有k个元件正常工作当（M-k+1）元件失效时系统就停止工作，等待修复,例,例,排队系统的基本模型,A/R/S/N/D：常见为 A/R/S，或A/R/S/N A：到达类型 R：服务时间分布 S：服务者个数 N：系统容量（含服务中用户数），默认无限大 D：排队规则，FIFO,排队系统的到达过程,到达过程：到达的业务/顾客流构成的随机过程可以用一定间隔内到达的顾客数的分布来表征也可以用顾客到达的时间间隔的分布来表征典型的到达过程：泊松过程一定间隔内到达的顾客数服从泊松分布，到达率到达的时间间隔服从负指数分布，平均到达时间 1 / ,排队系统的服务时间,服务时间：服务器处理每个顾客业务所需的时间是与服务器对具体业务的处理能力有关的随机量一般用处理业务所需的时间的分布来表征典型的服务时间：负指数分布服务时间服从负指数分布，平均服务时间 1 / 顾客离开率： ,排队系统的基本问题,概率分布特征: 系统中顾客数的概率分布（及平均值L）在排队等候的平均顾

3、客数 LQ 用户在系统中花费时间的概率分布（及平均值W或D）顾客排队等候的平均用时 WQ 或 DQ 服务器忙或空闲的概率服务器处于工作状态的持续时间的分布用户因为队列满而离开的概率,排队问题的Little定律,排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求描述长时间平稳后的系统形式为：L = W L ：系统中的平均顾客数：平均(有效)到达率 W：顾客在系统中所消耗的平均时间,M/M/1 或 M/M/1/排队模型,到达系统的顾客数服从泊松分布，参数服务时间服从负指数分布，平均服务时间是1/ 只有一个服务器若服务器正忙，则加入排队行列（不限长）服务器空闲时间到达的顾客立刻得到服务服务时间与到达过程独立顾客数组成一个生灭过程顾客到达和离开对应于生灭过程的生和灭任意时刻和状态，到达率和离开率均为相同常数 n=，n=,0,1,2,3,4,M/M/1 排队模型：应用生灭过程的结论,负载因子= /1 的条件下，具有稳态分布：系统中有n个顾客的概率系统平均用户数：用户数的方差：平均延迟：根据little公式 D = L

4、/ 轻负载情况下：，延迟近似为平均服务时间业务极度繁忙情况下：，几乎无限延迟,典型排队问题：,最普通情形 M/M/1/ 队列有限 M/M/1/N M元件1维修工人批量发生 MX/M/1/ 每次三个电话接入 M/M/N/N S个侍者 M/M/S/,稳定状态时，各状态的概率,写出Q，列稳态分布方程 w= wQ=0 稳态的“概率流”平衡：解得考虑到： M/M/1/ ：,解法 1,2, 解得最终结果,稳定状态时，系统中的顾客数（分布和均值）,M/M/1/为例已得 wn=(1-)n 定义母函数：系统中用户数：排队中的用户数：,0,1,2,3,稳定状态时，顾客的耗时平均值,M/M/1/ 母函数平均耗时：在队列中的平均耗时：验证 Little 定律：延迟时间的分布如何推导？,0,1,2,3,稳定状态时，L 和 W与负载的关系,轻负载，W 1/，基本呈线性关系负载较重时，系统不稳定负载微小变化都将导致系统滞留顾客数和延迟急剧增加极度繁忙：，几乎无限延迟,M/M/1/N 排队模型,稳态方程或而 Wn = 1 母函数：平均用户数平均排队用户数平均延迟时间平均排队时间可验证符合Little定律,M/M/1/N 排队模型,阻塞概率：离去概率系统中用户满的情形,定义,电话交换问题（M/M/N/N）,概率流平衡阻塞概率： Erlang-B公式,例,M/M/S 或 M/M/S/ 排队模型,平衡流关系：能够平衡的条件：/S 1 排队概率： Erlang-C公式,例,负载因子,M/M/S 或 M/M/S/ 排队模型（续）,平均顾客数：平均排队顾客数：平均排队时间：平均延时：或者应用 Little 定律特殊关系： WQ /Pq = /(S - ),例,机器维修问题,平衡流关系：损坏状态的机器的平均数：等待维修机器数的平均值,例,

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