数据分析(第二版) 教学课件 ppt 作者 范金城 梅长林 第7章 时间序列分析

1、第7章 时间序列分析,7.1 平稳时间序列 7.1.1 时间序列分析及其意义 时间序列是按时间顺序排列的随时间变化且相互关联的数据序列,分析时间序列的方法构成数据分析的重要领域. 研究时间序列的方法是对给定的时间序列选择合适的数学模型,它含有未知参数,通过参数估计建立起数学模型.称为“建模”,建模以后,根据实际需要进行预报或控制,时间序列分析有极广泛的应用. 本章主要介绍 ARMA 序列,它是平稳时间序列.在非平稳时间方向,介绍平稳 ARMA 序列有关的 ARIMA 序列.许多常见的时间序列可用 ARIMA 序列刻画.,7.1.2 随机过程概念及其数字特征 例 7.1 将一个物体的长度进行多次测量,得到一串数(单位:mm) 74.52,74.54,74.49, 如果进行另一批测量,得到另一串数: 74.53,74.51,74.50, 各串数一般是不同的,因为存在随机误差.从各批测量总体看,它是随机序列: 对于某批具体测量数据,如: 74.52,74.54,74.49, 称为随机序列的现实. 例 7.2 某气象台记录每一天降雨量.设第 天降雨量 .总体上得 .从试验的总体而言,这是随机序

2、列,具体一列记录是数列,称为这一随机序列的现实.,例 7.3 一口井从井口到水面距离叫埋深,每年按月平均的测量数据(单位:m) 特点: 1) 有按季节变化趋势 2) 埋深有缓慢上升的趋势,定义 随机过程是指标集 上的一族无限多个随机变量 1) 离散 2) 连续 随机过程在离散时刻有限个采样值 称为样本.特点:具在相关性. 随机过程的数字特征是 的函数,主要有均值函数、方差函数、协方差函数、自相关函数.,均值函数 随机过程 固定 是随机变量,均值为 ;当 变动时,均值是 的函数 称为随机过程的均值函数. 表示 在各个时刻的摆动中心.刻画随机过程变化的平均趋势. 2. 标准差函数与方差函数 固定 的方差 变动时,它是 的函数,称为方差函数: 标准差函数 ,它表示 对均值函数 的偏离程度.,3. 自协方差函数与自相关函数 随机过程 自协方差函数 几乎有相同的均值函数与方差函数.但 在不同时刻 有明显的相关性;而 在不同时刻 相关性很弱.自协方差函数 刻画 在不同时刻 的线性联系的密切程度. 自相关函数,随机过程的相关特性（1）,随机过程的相关特性（2）,例 7.5 常数, 是 上均匀分布随机

3、变量. 称随机相位余弦波. 与 仅是时间间隔 的函数. 7.1.3 平稳随机序列与平稳随机过程 随机过程的统计特性不随时间的推移而变化,称平稳随机过程. 常数, 常数. 令 由此引出平稳随机序列现平稳随机过程的定义,定义 1.平稳随机序列(平稳随机序列) 1) 常数 2) 与 无关 2. 平稳随机过程 1) 常数 2) 与 无关 例 7.5 中 是平稳过程,因 定义 平稳白噪声序列 即平稳白噪声任两不同时点是不相关的.是一种基本的平稳序列.,一类重要的平稳序列是平稳白噪声序列线性叠加的结果. 例 7.6 平稳白噪声序列,令 它是平稳序列,并求 解 得,例 7.6 常数 则 是平稳过程,并求 解 故 是平稳过程. 7.1.4 平稳性检验及自协方差函数,自相关函数估计 1. 的秩 Spearman 秩相关系数 平稳 Daniel 检验方法:显著水平 . Spearman 秩相关系数 . 若 ,则认为 不平稳.,例 7.8 美国某城镇19641983 年每年发生的偷盗率(每万人平均发生的偷盗次数)见表: 问偷盗率数据是否可看成是平稳的? 解 对显著水平 =0.05 ,由 PROC CORR

4、过程.算得 =0.56241, 值为0.0098,因 ,故拒绝 ,认为序列不平稳. 0偷盗率有上升趋势.,平稳序列自协方差函数与自相关函数的估计 问题 平稳序列,如何估计 ? .固定 ,取 的很多现实,在 处的数值的平均数作为 的估计.这繁琐,且很行不通.实际中,仅观测到一个现实. 因为随机序列平稳,希望用一个现实来估计 .这种性质叫平稳序列的遍历性.对于具有遍历性的平稳序列,只要观测时间充分长,它的每个现实都能“遍历”各种可能的状态.因而一个现实按时间的平均可为近似地代替它在固定时刻取值的统计平均.本章介绍的平稳序列皆有遍历性. 样本: 充分大, , 充分大,7.2 ARMA 时间序列及其特性 7.2.1 ARMA 时间序列的定义 1. 序列 零均值平稳序列,满足模型 其中 是零均值,方差是 的平稳白噪声.则称 是阶数为 的自由回归序列,简记 序列. 称自回归参数向量, 自回归系数. 推移算子: 算子多项式 则 2. 序列 零均值平稳序列,满足 是零均值,方差是 的平稳白噪声,则称 是阶数为 的滑动平均序列,简记 序列.,算子多项式 3. 序列 零均值平稳序列,满足 白噪声, 称阶数

5、为 的自回归滑动平均序列,简记 序列.算子多项式 若 平稳序列, 满足 即 一般形式 假定: 1) 无公共因子, 2) 平稳性条件: 的根全在单位圆外 3) 可逆性条件: 的根全要单位圆外,例 7.10 设 的自协方差函数 则 是 AR(1)序列 解 令 要证 是零均值白噪声序列 时, 时, 令 则 故 为 AR(1)序列,自协方差函数图形,7.2.2 ARMA 序列的平稳性与可逆性 1.ARMA 序列的平稳性 零均值平稳白噪声, 若 满足 定义 则称 随机线性序列 是平稳序列 只在当 即 时, 故 ,即 从而 平稳 算子 传递形式 Green函数,例 7.11 (1)AR(1): 可证:待递形式 根为 .当 时, .即 的根在单位圆外,满足平稳性条件. (2)AR(2): 比较两端系数, (3) ARMA(1,1): 可证: 性质: 当 满足平稳性条件, 负指数下降.,2.ARMA 序列的可逆性 逆转形式: 逆函数. 逆转形式 性质:当 满足可逆性条件,可证:存在 例 7.12 (1) MA(1): (2) MA(2): (3) ARMA(1,1):,7.2.3 ARMA 序列的相关

6、特性 1. MA 序列的自相关函数 零均值白噪声 可得: 例 7.6 MA(1)情况已证 步截尾性： 时, 2. 序列的自相关函数 序列有性质: (自学): : 用 乘两端，求均值,得 即 更有 取 ,由 ,得 即 称 Yule-Walker 方程,系数矩阵为 Toepletz 矩阵. 可证 (自学) 例 7.13 (1) AR (1): (2) AR (2): 可得,可证： 序列(或 )拖尾： ARMA (1,1): 平稳可逆条件: 例 7.14 随机模拟下列序列,样本容量 (1) 由模拟产生的数据研究上述序列的自相关特性 解 由 SAS 系统 PROC ARIMA 过程,由样本算得的样本自相关函数如下: 理论值.,例 7.15 随机模拟下列序列,样本容量10000. (2) 利用模拟数据研究上述序列自相关特性 解 由 PROC ARIMA 过程,算得样本自相关函数. 理论自相关函数: 有: .等等. 3. 偏相关函数及 序列偏相关函数截尾性 零均值平稳序列.问题:由 对 作线性最小均方估计,使得,令 得 偏相关函数 ,方程解递推公式: 序列偏相关函数 是 步截尾的,即 当 (自学)

7、 对 序列, 序列偏相关函数具有拖尾性.,例 7.16 (续例 7.15) (2) 由PROC ARIMA 过程,算得样本偏相关函数 理论偏相关函数,7.3 ARMA 时间序列的建模与预报 序列参数的矩估计 : 已知, 未知 在 Yule-Walker 方程中以 代 ,得 和矩估计 矩估计 递推公式 递推到 步,得,2. 序列参数的矩估计 序列, 未知 上式 以矩估计 替代,移项 迭代算法,给定 与 的初值(如 )代入(1)右边,得左边的 (1),与 .为一步迭代值.再代入(1)右边,得 (2)和 .直至 取 注意: 必须验证是否满足可逆性条件,如不满足,改动初值反复试算,直到满足要求为止.,7.3.2 ARMA 序列参数的精估计 1.条件最小二乘估计(CLS 估计) ; 未知, 的最小二乘估计 使 得 令,充分大, 与矩估计 接近 : 逆转形式 逆函数递推公式: CLS 估计: 是 的函数 在平稳可递域中寻求 使 ,称 CLS 估计.,2. 无条件最小二乘估计( ULS 估计) 由 线性均方预报 ,估计量 满足 是 的函数,故 是 的函数. 在平稳可逆域中寻求 ,使 称 的 ULS

8、估计. 3. 最大似然估计( ML 估计) (略) 最小平方和估计(近似 ML 估计),例 7.18 (续例 7.15) 利用模拟产生的样本容量为10000的数据,对参数作CLS,ULS,ML估计. (2) 理论自回归系数 由 PROC ARIMA 过程,计算得到 CLS 估计 ULS 估计 ML 估计 (3) CLS 估计 ULS 估计 ML 估计,7.3.3 ARMA 模型定阶 1. 模型定阶的 AIC 准则 服从 ARMA 模型,定阶是估计 的值 AIC 定阶准则:选 ,使得 其中 是样本容量, 是 的估计(与 有关). 若当 时,上式达到最小值,则认为序列是 . 2. 模型考核的 检验 未知参数估计,Ljung-Box 统计量 当 :对某些 若 成立, 充分大, ( 是估计的模型参数个数) 检验 对显著水平 ,由实际算得的 值 值是 p. 则当 ,拒绝 ,认为 非白噪声: ,接受 ,认为 为白噪声,模型考核通过. 例 7.21 模型产生10000个观测数据: (2) 估计为 CLS 估计,用实际计算证明 AIC 准则定阶的准确性, 解 (2) 序列的真阶是 . 分别用 AR(1),AR(2),AR(3)拟合,计算得到 AIC 值各为 29158.78, 28272.90, 28274.44 显示应为 AR(2)序列.,例 7.22 对例 7.21(2),(5)序列模拟数据,用 AIC 准则定阶并进行参数不清 CLS 估计后,用 检验法进行模型考核. 解 (2)由 PROC ARIMA 过程,计算得到 检验结果: To Chi- Pr Lag Square DF ChiSq-Autocorrslations- - 6 0.84

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