信号与系统 教学课件 ppt 作者 张延华 等第3章-离散时间信号与系统 3-3 序列的分解与卷积和

1、ThemeGallery PowerTemplate,3-3 序列的分解与卷积和,国家“十二五”规划教材信号与系统,重点,难点,序列的分解及卷积和性质,卷积和的运算,内容安排,3-3-1 序列的分解,3-3-2 序列的卷积和,前言,本讲首先讨论将一个任意序列表示为移位单位样值序列（或叫移位冲激序列）的加权叠加，然后给出卷积和的概念。,设离散时间序列 乘以单位样值序列 ，应用 的抽样性质，有,3-3-1 序列的分解,若将上式扩展到一般情况，即用带移位的单位样值序列 乘以序列 ，继续应用抽样性质可得到,式中n表示时间序号，这里离散时间序列 代表整个序列，而 表示序列 在k时刻的样本值。显见，将一个序列 乘以移位k个单位的单位样值序列 ，其结果等于一个冲激强度为 的移位单位样值序列。 的这个特点允许我们用单位样值序列把任意离散时间序列 分解为具有如下形式的加权移位的单位样值序列的和：,上式可表示成通式,3-3-1 序列的分解,（3-3-1）,式（3-3-1）将任意离散时间序列x(n)分解成一个基本函数，也就是移位单位样值序列的加权和，这里权重是对应移位处序列的样本值。图3-3-1图解说明了序

2、列的这种分解过程。 式（3-3-1）又被称之为离散时间单位样值序列的筛选（或抽样）性质。这是因为移位单位样值序列 仅当k=n时为非零，因此式（3-3-1）等式右边的和式就对序列x(n)进行了筛除，仅仅保留对应于k=n时的序列样本值x(k)。,3-3-1 序列的分解,图3-3-1序列分解 为一组加权移位 样值之和,内容安排,3-3-1 序列的分解,3-3-2 序列的卷积和,设给定两个具有相同采样间隔的序列x(n)和y(n)，定义一个新序列,3-3-2 序列的卷积和,1、定义,（3-3-2）,称z(n)为序列x(n)和y(n)的卷积和，记为,工程应用中的信号序列一般都是物理可实现的有限长度信号序列，故对式（3-3-2），如x(n)和y(n)都是有限的因果序列，即当n0时，x(n)=0，nk时，y(n-k)=0则有,3-3-2 序列的卷积和,（3-3-3）,对于这种有限长度序列，其卷积和z(n)的长度怎样计算？假设这里的x(n)和y(n)分别有l+1和m+1个样值，也就是说 和 ，则其卷积和：,（3-3-4）,是长度为l+m+1的序列z(n)。,另外，当序列x(n)、y(n)和z(n)都是周

3、期序列时，则z(n)就是数字信号处理中定义的循环（或周期）卷积。,例3-3-1 设 、 试求序列 的卷积，并确定卷积和的长度。,3-3-2 序列的卷积和,解：则卷积和z(n)的长度为l+m+1=3+2+1=6，代入式（3-3-4），有,当序列x(n)、y(n)的解析表达式足够简单时，卷积和的计算也就比较 简单。一般而言,对于有限或者无限序列都希望用一组解析闭式给出计算 结果。但在具体计算时，需要记住x(n)和y(n-k)都是累加变量k的函数。 累加时一般会用到形如u(n)和u(n-k)的阶跃序列。由于kn时u(n-k)=0，所以可将累加上、下限限制在k=0和k=n区间。 因为卷积和是分析和描述线性离散时不变系统的基础，因此工程应用 中已发展出多种求卷积和的方法。,3-3-2 序列的卷积和,2、卷积和的计算,序列折叠法算法的步骤见表3-3-1。,3-3-2 序列的卷积和,（1）序列折叠法,表3-3-1,由表3-3-1可见，将两序列中的一个序列（通常选两者中的长序列）放在表中第一列，另一序列（通常选短序列）放在表中第一行，行列相交处的空格填写行指标元素与列指标元素的乘积，然后按照对角线（图

4、中虚线）相加，分别得到卷积和样值,序列求和法首先将两序列中的一个序列（通常选两者中的短序列）进 行逆序运算（例如 的逆序是 ）， 之后将两样本序列的起始点对齐相乘，之后依次顺序右移第2个序列（或 左移第一个序列）并相乘、求和，操作过程依次如下所示。,3-3-2 序列的卷积和,（2）序列求和法,上、下行样本起始点对齐相乘 ；,下行样本右移一位两行 对齐相乘求和,；,下行样本右移二位两行对齐相乘求和,；,3-3-2 序列的卷积和,下行样本右移三位两行对齐相乘求和,；,下行样本右移四位两行 对齐相乘求和,；,下行样本右移五位两行对齐相乘求和,；,上述运算可以总结为以下4个步骤： 1）反折 2）移位 3）相乘 4）求和,1）反折：将 （通常选两者中的短序列）进行逆序运算，也就是将其按纵轴反转变为 ，如上例 ，则 2）移位：将 在横轴上右移k，得 3）相乘：将 和 相乘； 4）求和：将相乘序列求和即得卷积和z(n),3-3-2 序列的卷积和,例3-3-1 已经指出序列 和序列 的 卷积和z(n)的长度为 ，因此可以用6阶矩阵表示该卷积 和为,3-3-2 序列的卷积和,（3）矩阵表示法,更一般地，

5、对序列 和序列 ， 可用 阶矩阵表示卷积和为,3-3-2 序列的卷积和,离散时间序列卷积和的变换域算法基于后续章节中将要讨论的z变换概念，具体方法见第8章相关内容。,3-3-2 序列的卷积和,（4）变换域算法,例3-3-2 卷积和计算,1令x(n)= h(n)= u(n)，则x(k)= u(k)且h(n-k)= u(n-k)。因为kn时，u(n-k)=0，所以卷积和的上限可简化为k=n。因此有：,式中ramp(n)=nu(n)是斜坡序列。注意，(n+1)u(n)也等于ramp(n+1)，因此，u(n)*u(n)=ramp(n+1)。,2令x(n)= h(n)=anu(n)，an时，u(n-k)=0， 所以卷积和的上限可简化为k=n。因此有：,3-3-2 序列的卷积和,3令x(n)= u(n)，h(n)= anu(n)，则,4令x(n)=nu(n+1)，h(n)= a-nu(n)，a1，根据h(n-k)=a-(n-k)u(n-k)和x(k)=ku(k+1)，卷积和的下限可简化为k=-1、上限可简化为k=n。因此有：,3-3-2 序列的卷积和,卷积和的计算通常会涉及有限或者无限级数的求和运

6、算。有时利用已知结果可以获得闭式（如上例），但在多数情况下，闭式是难以获得的。,卷积是一个线性算子，它的许多性质都是基于线性和时不变的。容易证明，卷积和的代数运算与连续系统中卷积的代数运算规律相似，都服从交换律、分配律和结合律。但是，其它一些性质则需作部分修改。,3-3-2 序列的卷积和,3 、卷积和的性质,离散时间序列卷积和的主要性质如下：,1、交换律,（3-3-5）,2、分配律,（3-3-6）,离散时间序列卷积和的区间性是指，有离散时刻 和 ，对于在区间 之外的任何时刻k，都有离散时间序列 。现用M表示离时间 序列的区间，即 。若设序列 和 的区间分别由 和 定义，则其卷积和,3-3-2 序列的卷积和,3、结合律,（3-3-7）,4、区间性,的区间由 确定。,离散时间序列卷积和的区间性也可以用序列的样本数来描述。设一个序列有L个样本，也就是样本数是L，那么 ，这里 。 若设两个序列x(n)和y(n)的样本数分别是 和 ，则其卷积和的样本数等于 ，与之对应的区间是 。,令 ，则序列有移位后的卷积由下式给出：,3-3-2 序列的卷积和,5、移位性,（3-3-8）,（3-3-9）,（3-3-10）,1. 两个重要的卷积结果：,3-3-2 序列的卷积和,4、卷积性质举例,2. 由于已知单位阶跃序列是单位样值序列的连续和，所以序列x(n)与单 位阶跃序列u(n)的卷积和就是序列x(n)的和：,（3-3-11）,（3-3-12）,设y(n)= rect(n/2N)* rect(n/2N)，其中rect(n/2N)=u(n+N)-u(n-N-1)。 这个卷积展开后包括4项：,3-3-2 序列的卷积和,3. 两个离散矩形脉冲序列rect(n/2N)的卷积（自变量相同）是一个离散三角脉冲序列tri函数：,利用单位阶跃序列卷积的一个结果：u(n)*u(n)=ramp(n+1)，这里ramp(n)=nu(n)是斜坡序列，以及移位性质，可得,

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