建筑力学 教学课件 ppt 作者 沈养中 第四章 杆件的强度与刚度

1、第四章 杆件的强度与刚度,内容提要 本章介绍杆件在拉压、扭转与弯曲时的内力计算和内力图的绘制，应力和强度计算，变形和刚度计算，以及杆件在组合变形时的强度计算。本章内容是杆件计算的核心。,4.1 拉压杆,4.2 受扭轴,4.3 单跨梁,本章内容,4.4 组合变形,小结,4.1 杆件拉压时的内力计算,4.1.1 工程实例和计算简图,工程中承受轴向拉伸或压缩的杆件：,桁架中的杆件图 (a),斜拉桥中的拉杆图(b),闸门启闭机中的螺杆图 (c),承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉(压)杆。,拉压杆的计算简图,拉压杆的受力特点：外力或外力合力的作用线与杆件的轴线重合 。,F,F,拉压杆的变形特点：沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。,4.1.2.轴力和轴力图,物体没有受到外力作用时，其内部各质点之间就存在着相互作用的内力。这种内力相互平衡，使得各质点之间保持一定的相对位置。,1. 内力的概念,在物体受到外力作用后，其内部各质点之间的相对位置就要发生改变，内力也要发生变化而达到一个新的量值。,内力随外力的增大而增大，当内力达到某一限度时就会引起构件的破坏，因而它与构件的强度问题是密切相关的

2、。,截面法是求构件内力的基本方法。下面通过求解图（a）所示拉杆mm横截面上的内力来具体阐明截面法。,2. 截面法,为了显示内力，假想地沿横截面mm将杆截开成两段，任取其中一段，例如取左段，作为研究对象。左段上除受到力F的作用外，还受到右段对它的作用力，此即横截面mm上的内力图(b)。,根据均匀连续性假设，横截面mm上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力(力或力偶)。现要求的内力就是图(b)中的合力FN。因左段处于平衡状态，故列出平衡方程。,X 0 FN F 0,得,F N F,这种假想地将构件截开成两部分，从而显示并求解内力的方法称为截面法。,用截面法求构件内力可分为以下四个步骤：截、取、代、平 。,1）截开,沿需要求内力的截面，假想地将构件截开成两部分。,2）取出,取截开后的任一部分作为研究对象。,3）代替,把弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力代替。,根据均匀连续性假设，横截面mm上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力(力或力偶)。,4）平衡,列出研究对象的静力平衡方程，解出需求的内力。,X 0

3、FN F 0,得,F N F,若取右段为研究对象，同样可求得轴力 FN F,X 0 F FN 0,得,F N F,3. 轴力图,FN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力。,规定轴力的正负号如下：当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。,以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的轴力数值，从而绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图，也称FN图。通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。,【例4.1】 拉压杆如图所示，求横截面11、 22、33上的轴力，并绘制轴力图。,【解】 1）求支座反力。,由杆AD的平衡方程,X 0 FD 2kN 3 kN 6 kN 0,得,FD 1kN,2) 求横截面11、22、33上的轴力。,设截面上的轴力为FN1，由平衡方程,X0 FN12kN0,FN12kN,算得的结果为正，表明F为拉力。,得, 11截面,FN1,当然也可以取右段为研究对象来求轴力F，但右段上包含的外力较多，不如取左段简便。因此，计算时应选取受力较简单的部分作为研究对象。,设截面上的轴力为FN2

4、，由平衡方程,X 0 FN2 2kN 3kN 0,得,FN2 5kN, 22截面,沿横截面33将杆截开，取右段为研究对象，可得轴力F为,FN3 FD 1kN,算得的结果为负，表明F为压力。, 33截面,轴力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的任一侧，并标明正负号。,3) 绘制轴力图。,2,5,1,FN图(kN),【例4.1】小结,最大轴力FNmax=5kN。内力较大的截面称为危险截面，例如本题中BC段各横截面。,4.1.3 拉压杆的应力,1. 应力的概念,轴力是拉压杆横截面上分布内力的合力，它只表示截面上总的受力情况，单凭轴力的大小还不能判断杆件在外力作用下是否发生破坏。例如，相等的内力分布在较大的面积上时，比较安全；分布在较小的面积上时，就比较危险。,因此，为了解决强度问题，还必须研究截面上各点处内力的分布规律，即用截面上各点处的内力的大小和方向来表明内力作用在该点处的强弱程度。为此，引入应力的概念。,A上的平均应力：,M点处的应力：,M点处的正应力：,M点处的切应力：, = p

5、cos, = psin,应力的常用单位为Pa（帕），1Pa=1 N/m2。,工程实际中常采用帕的倍数单位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其关系为,1 kPa= 1103Pa,1MPa= 1106 Pa,1GPa= 1109 Pa,2. 拉压杆横截面上的正应力,因为拉压杆横截面上的轴力沿截面的法向，所以横截面上只有正应力。,由于横截面上正应力的合力等于轴力，因此欲计算正应力，必须知道在截面上的分布规律。为此，我们来观察拉压杆的变形。,在图(a)所示拉杆的侧面任意画两条垂直于杆轴的横向线ab和cd。拉伸后可观察到横向线ab、cd分别平行移到了 ab 、cd 位置，但仍为直线，且仍然垂直于杆轴图(b)。,根据这一现象，可假设变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。这就是平面假设。,设想杆是由许多纵向纤维所组成，根据平面假设，可断定杆变形时任意两横截面间各纵向纤维的伸长相等。又根据均匀连续性假设，各条纤维的性质相同，因而它们的受力必定相等。所以横截面上的法向分布内力是均匀分布的，即等于常量。这个结论对于压杆也是成立的。,因为为常量，所以轴力F等于正应力与横截面面积A的乘积，

6、即,FNA,或,这就是拉压杆横截面上正应力的计算公式。,正应力的符号和轴力FN的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。,FN,作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。研究表明，上述静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略。这就是圣维南原理。根据这一原理，除了外力作用点附近以外，都可用公式计算应力。,【例4.2】 一正方形截面的砖柱（压杆有时也称为柱）如图所示，F50kN。求砖柱的最大正应力。,【解】 用截面法求得上、下两段横截面上的轴力分别为,FN150kN，FN2150kN,因为上、下两段横截面的面积也不相同，所以必须算出各段横截面上的应力，加以比较后才能确定柱的最大正应力。由横截面上的应力计算公式，得,可见，砖柱的最大正应力发生在柱的下段各横截面上，其值为,max1.1MPa（压）,以后我们称应力较大的点为危险点，例如本题中柱下段横截面上各点。,如果杆的各横截面上的轴力都相同，那么杆的最大正应力发生在截面积最小的横截面上。若是等直杆，则发生在轴力最大的横截面上。在一般情况下

7、，应加以比较后确定。,4.1.4 拉压杆的变形,杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形；与此同时，垂直于轴线方向的横向尺寸也有所缩小或增大，称为横向变形图(a，b)。,1. 纵向变形,（1）纵向总变形,拉、压杆的原长为，在轴向外力F的作用下，长度l变为l1，杆的纵向变形为,ll1l,对于拉杆，l为正值，表示纵向伸长图(a)；对于压杆，l为负值，表示纵向缩短图(b)。,（2）纵向线应变,根据平面假设，杆的各段都是均匀变形的，单位长度的纵向变形为,式中的称为纵向线应变。显然，拉伸时0，为拉应变；压缩时0，为压应变。是一个量纲为1的量。,（3）胡克定律,大量的实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形l与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即,上式称为胡克定律。,又因为F=FN，所以,因 ， ，故上式变为,这是胡克定律的另一表达式。它表明：在弹性限度内，正应力与线应变成正比。,式中的比例常数E称为弹性模量，它与材料的力学性能有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。E的数值可由试验测定。E的单位与应力的单位相同。一些常用材料的E

8、的约值列于表4.1中，以供参考。EA称为杆的拉压刚度，它是单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力。,表4.1 常用材料的E和的约值,2. 横向变形,（1）横向总变形,设拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d与d1 ，则其横向变形d为,dd1d,（2）横向线应变,横向线应变 为,（3）泊松比,大量的试验表明，当杆的变形为弹性变形时， 横向线应变 与纵向线应变的绝对值之比是一个常数。此比值称为泊松比或横向变形系数，用表示，即,对于拉杆，d与 都为负；对于压杆，d与 都为正。,是一个量纲为1的量，其数值随材料而异，也是通过试验测定的。一些常用材料的的约值也列于表4.1中。,考虑到 与的正负号恒相反，可得,利用上式，可由纵向线应变或正应力求横向线应变。反之亦然。,【例4.3】 图示木方柱受轴向荷载作用，横截面边长a200mm，材料的弹性模量E10GPa，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。,【解】 由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为,FNBC100kN,FNAB260kN,各段柱的纵向变形为,各段柱的纵向线应变为,全柱的总变形为两段柱的变形之和，即,

9、l=lBC+lAB=0.5mm0.975mm=1.475mm,4.1.5 材料在拉(压)时的力学性能,材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能由试验测定。,本节以工程中广泛使用的低碳钢（含碳量0.25)和铸铁两类材料为例，介绍材料在常温、静载（是指从零缓慢地增加到标定值的荷载）下拉(压)时的力学性能。,1. 材料在拉伸时的力学性能,（1）低碳钢在拉伸时的力学性能,为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试件。金属材料常用的拉伸试件如图所示，中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0，称为标距，且l0=10d0或l0=5d0。,试验时将试件的两端装在试验机的夹头中，缓慢平稳地加载直至拉断。,拉力F与试件的伸长量l之间的关系曲线称为拉伸曲线或F-l曲线。图（a）为Q235钢的拉伸曲线。,图（a）,拉伸曲线受试件几何尺寸的影响，不能直接反映材料的力学性能。,为了消除试件尺寸的影响，将拉力F除以试件的原横截面面积A0，得到应力=F/A0作为纵坐标，将标距的伸长量除以标距的原有长度l0，得到应变=l/l0作为横坐标，这样就得到一条应力与应变之间的关系曲线(图b)，称为应力- 应变曲线或-曲线。,1）低碳钢拉伸过程的四个阶段, 弹性阶段。,-曲线上OB段为弹性阶段。在此阶段内，如果卸除荷载，则变形能够完全消失。,弹性阶段的应力最高值称为弹性极限，用e表示，即B点处的应力值。,在此阶段内，除AB这一小段外，OA段为直线，应力与应变成线性关系，材料服从胡克定律，因此图中直线OA的斜率即为材料的弹性模量E，即E=tan。,在-曲线上对应于点A的应力，表示应力与应变成比例关系的最大值，称为比例极限，用p表

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