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江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学(理)试卷含答案

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  • 文档编号:89182563
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    • 1、1 Read x If x1 Then yx22x2 Else y x1 x1 End If Print y 常州市常州市 20192019 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 理科数学理科数学 参考公式:样本数据 12 , n x xx的方差 22 1 1 () n i i sxx n ,其中 1 1 n i i xx n . 柱体的体积V Sh,其中S为柱体的底面积,h为高 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合0,1, 1,1AB ,则AB _. 2.已知复数 z 满足(1)1zii (i是虚数单位) ,则复数z _. 3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3, ,9.2,9.4x, 且这 5 个分数的平均数为9.3,则实数x _. 4. 一个算法的伪代码如右图所示,执行此算法,若输出的y值为1, 则输入的实数x的值为_. 5. 函数1lnyx的定义域为_. 6. 某校开设 5 门不同的选修课程,其中 3 门理科类和 2 门文科类,某同学从中选修 2 门课程,则 该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为_. (第 4

      2、 题) 2 7. 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2,直线20xy经过双C的焦点,则双曲 线C的渐近线方程为_. 8. 已知圆锥SO,过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面,以截面为上底面作圆 柱PO,圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图) ,则圆柱PO的体积与圆锥SO的 体积的比值为_. 9. 已知正数, x y满足1 y x x ,则 1x xy 的最小值为_. 10. 若直线0kxyk与曲线exy (e是自然对数的底数)相切,则实数 k _. 11. 已知函数( )sin()(0,)Rf xx 是偶函数,点(1,0)是函数( )yf x图象 的对称中心,则最小值为_. 12. 平面内不共线的三点, ,O A B,满足| 1,| 2OAOB ,点C为线段 AB 的中点,AOB的平分线 交线段 AB 于 D ,若| 3 | 2 OC ,则|OD _. 13. 过原点的直线l与圆 22 1xy交于,P Q两点,点A是该圆与x轴负半轴的交点,以AQ为直径 的圆与直线l有异于Q的交点N,且直线AN与直线 AP 的斜率之积等于1,那么直线l的方程为 _.

      3、(第 8 题) 3 14. 数列, nn ab满足 * 1 ( 1)()N n nnn baa n ,且数列 n b的前n项和为 2 n,已知数列 n an的 前2018项和为 1,那么数列 n a的首项 1 a _. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15. (本小题满分 14 分)如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,点 M,N 分别是 AB,CC1的中点 (1) 求证:CM平面 AB1N; (2) 求证:平面 A1BN平面 AA1B1B. (第 15 题) 16. (本小题满分 14 分)已知在ABC 中,a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边,且 b2 bcsinAc2a2. 2 3 3 (1) 求角 A 的大小; (2) 若 tanBtanC3,且 a2,求ABC 的周长 4 17. (本小题满分 14 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:1 的焦点在椭圆 x2 a2 y2 b2 C2:1 上,其中 ab0,且点是椭圆 C1,C2位于第一象限的交点 y2 a2 x2 b2 ( 6 3 , 6

      4、 3) (1) 求椭圆 C1,C2的标准方程; (2) 过 y 轴上一点 P 的直线 l 与椭圆 C2相切,与椭圆 C1交于点 A,B,已知,求直 PA 3 5PB 线 l 的斜率 18. (本小题满分 16 分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称 地截去四个全等三角形所得,如图(2)中所示的多边形 ABCDEFGH),整体设计方案要求:内部井 字形的两根水平横轴 AFBE1.6 m,两根竖轴 CHDG1.2 m,记景观窗格的外框(图(2)中实 线部分,轴和边框的粗细忽略不计)总长度为 l m. (1) 若ABC,且两根横轴之间的距离为 0.6 m,求景观窗格的外框总长度; 2 3 (2) 由于预算经费限制,景观窗格的外框总长度不超过 5 m,当景观窗格的面积(多边形 ABCDEFGH 的面积)最大时,给出此景观窗格的设计方案中ABC 的大小与 BC 的长度 图(1) 图(2) (第 18 题) 5 19. (本小题满分 16 分)已知在数列an中,a11,且 an13an40,nN*. (1) 求证:an1是等比数列,并求数列an的通项公式; (2

      5、) 数列an中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列?若存在,求出 满足条件的项;若不存在,请说明理由 20. (本小题满分 16 分)已知函数 m(x)x2,函数 n(x)aln x1(aR) (1) 若 a2,求曲线 yn(x)在点(1,n(1)处的切线方程; (2) 若函数 f(x)m(x)n(x)有且只有一个零点,求实数 a 的取值范围; (3) 若函数 g(x)n(x)1exex0 对 x1,)恒成立,求实数 a 的取值范围(e 是自然 对数的底数,e2.718 28) 江苏省常州市江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 数学附加题数学附加题 21. 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 42:矩阵与变换 已知点(1,2)在矩阵 A对应的变换作用下得到点(7,6) 1 x 2 y 6 (1) 求矩阵 A; (2) 求矩阵 A 的特征值及对应的特征向量 B. 选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为

      6、极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系直线 l 的 参数方程为(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 2sin,求直线 l 被曲线 C x 2 2 t1, y1 2t ) 2 ( 4) 所截的弦长 C. 选修 45:不等式选讲 已知 a0,b0,求证:ab1. abab 【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 22. (本小题满分 10 分)如图,在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知正四棱锥 PABCD 的高 OP2,点 B,D 和 C,A 分别在 x 轴和 y 轴上,且 AB,点 M 是棱 PC 的中点 2 (1) 求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值; 7 (2) 求二面角 APBC 的余弦值 (第 22 题) 23. (本小题满分 10 分)是否存在实数 a,b,c 使得等式 135246n(n2)(n4) (an2bnc)对于一切正整数 n 都成立?若存在,求出 a,b,c 的值;若不存在,请说明 n(n1) 4 理由. 江苏省常州市江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试

      7、 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 1. 1 2. i 3. 9.5 4. 3 5. (0,e 6. 3 5 7. yx 8. 9. 4 10. e2 3 3 8 11. 12. 13. yx 14. 2 2 33 3 2 8 (第 15 题) 15. (1) 令 AB1交 A1B 于点 O,连接 OM,ON,在正三棱柱 ABCA1B1C1中, BB1CC1,BB1CC1,且四边形 AA1B1B 是平行四边形,所以 O 为 AB1的中点,又因为 M 为 AB 的中点,所以 OMBB1,且 OM BB1.因为 N 为 CC1的中点,CN CC1,所以 OMCN,且 1 2 1 2 OMCN,所以四边形 CMON 是平行四边形,(5 分) 所以 CMON,又 ON平面 AB1N,CM平面 AB1N,所以 CM平面 AB1N.(7 分) (2) 在正三棱柱 ABCA1B1C1中,BB1平面 ABC,CM平面 ABC,所以 BB1CM.(9 分) 因为 CACB,M 为 AB 的中点,所以 CMAB,又由(1)知 CMON,所以 ONAB,ONBB1.又因为 ABBB1B,AB,B

      8、B1平面 AA1B1B,所以 ON平面 AA1B1B.(12 分) 又 ON平面 A1BN,所以平面 A1BN平面 AA1B1B.(14 分) 16. (1) 由余弦定理得 a2b2c22bccosA,又 b2bcsinAc2a2, 2 3 3 所以 b22bccos Ac2b2bcsinAc2,即 2bccos Abcsin A,(3 分) 2 3 3 2 3 3 从而 sinAcosA,若 cosA0,则 sinA0,与 sin2Acos2A1 矛盾,所以 cos A0, 3 所以 tanA.又 A(0,),所以 A .(7 分) 3 3 (2) tan(BC)tan(A)tan.(9 分) tanBtanC 1tanBtanC 2 33 9 又 tanBtan C3,所以 tanBtanC(2)2,解得 tanBtanC.(11 分) 333 又 B,C(0,),所以 BC .又因为 A ,所以ABC 是正三角形, 3 3 由 a2,得ABC 的周长为 6.(14 分) 17. (1) 椭圆 C1:1 的焦点坐标为(c,0),代入椭圆 C2的方程有1, x2 a2 y2 b2 c2 b2 点 P的坐标代入椭圆 C1,C2的方程有 C1:1, ( 6 3 , 6 3) 2 3a2 2 3b2 所以解得 a22,b2c21,(3 分) c2 b21, a2b2c2, 2 3a2 2 3b21,) 所以椭圆 C1,C2的标准方程分别为y21,x21.(5 分) x2 2 y2 2 (2) 由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,m), 由消去 y,得x21, y2 2 x21, ykxm,) (kxm)2 2 即x2kmx10, (1 k2 2) m2 2 k2m240, (1 k2 2)( m2 2 1) 即 k22m20.(7 分) 由消去 y,得(kxm)21, x2 2 y21, ykxm,) x2 2 10 即x22kmxm210, ( 1 2k2) 因为直线 l 与椭圆 C1相交,有 4k2m24(m21)40(*), ( 1 2k2) (k2 1 2m2 1 2) x1,2.(9 分) 2km 4(k21 2m2 1

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