江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学试卷含答案

1、1 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数数 学学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 1. 已知集合 A1，3，B0，1，则集合 AB . 2. 已知复数 z3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 . 2i 1i 3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班 50 名学生参加活动的次数统计如下： 次数2345 人数2015105 则平均每人参加活动的次数为 . 4. 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 . 5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加 一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 . 6. 已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是 3cm，则这个正四棱柱的体积为 5 cm3. 7. 若实数 x，y 满足 xy2x3，则 xy 的最小值为 . 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0)的准线为 l，直线 l 与双曲线 y2

2、1 的两条渐近线分别交于 A，B 两点， x2 4 AB，则 p 的值为 . 6 2 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y3xt 与曲线 yasin xbcos x(a，b，tR)相切 于点(0，1)，则(ab)t 的值为 。 10. 已知数列an是等比数列，有下列四个命题： 数列|an|是等比数列； 数列anan1是等比数列； 数列是等比数列； 数列lg a 是等比数列. 1 an2 n 其中正确的命题有 个. 11. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x).当 0b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点 x2 a2 y2 b2 为 B. (1) 已知椭圆的离心率为 ，线段 AF 中点的横坐标为，求椭圆的标准方程； 1 2 2 2 (2) 已知ABF 的外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值. 18. (本小题满分 16 分) 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD，AB，AD 的长分别为 2 m 和 4 m， 3 上部是圆心为 O 的劣弧 CD，COD. 2 3 5 (1) 求图 1 中拱门最高点到地面的距离

3、； (2) 现欲以点 B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如 图 2、图 3、图 4 所示.设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 .记拱门上的点到地面的最大距离为 h， 试用 的函数表示 h，并求出 h 的最大值. 6 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x) ln x(aR). a x (1) 讨论函数 f(x)的单调性； (2) 设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若函数 f(x)有两个不相同的零点 x1，x2. 求实数 a 的取值范围； 证明：x1f(x1)x2f(x2)2ln a2. 20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836. (1) 求数列an的通项公式； 7 (2) 若数列bn满足(bka2n12k)2an3(2n1)(nN*). n k1 证明：bn为等比数列； 求集合. （m，p）| am bm 3ap bp ，m，p N * 8 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学附加题数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选

4、做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的 前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-2：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M，N，且(MN)1，求矩阵 M. a b c d 1 0 0 1 2 1 4 0 0 2 选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是(t 为参数).以原点 O 为极点，x 轴正 xt， yt2) 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin.求： ( 4)2 (1) 直线 l 的直角坐标方程； (2) 直线 l 被曲线 C 截得的线段长. 9 C. 选修 4-5：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知实数 a，b，c 满足 a2b2c21，求证：. 1 a21 1 b21 1 c21 10 【必做题】 第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，1

5、21，3 553 等.显然 2 位“回 文数”共 9 个：11，22，33，99.现从 9 个不同的 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4，其结果记 为 X；从 9 个不同的 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y. (1) 求 X 为“回文数”的概率； (2) 设随机变量 表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望 E(). 23. (本小题满分 10 分) 设集合 B 是集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集.记集合 B 中所有元素 的和为 S(规定：集合 B 为空集时，S0).若 S 为 3 的整数倍，则称 B 为 An的“和谐子集”.求： (1) 集合 A1的“和谐子集”的个数； 11 (2) 集合 An的“和谐子集”的个数. 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试(南通南通) 数学参考答案数学参考答案 1.0，1，3 2. 3.3 4.7 5. 6.54 5 2 3 7.6 8.2 9.4 10.3 11.2 12.2 65 12 13. 14.337 (4， 4 3) 15. (1) 在四棱锥 PABC

6、D 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点， 所以 MNAD.(2 分) 又底面 ABCD 是矩形， 所以 BCAD. 所以 MNBC.(4 分) 又 BC平面 PBC，MN平面 PBC， 所以 MN平面 PBC.(6 分) (2) 因为底面 ABCD 是矩形， 所以 ABAD. 又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCDAD，AB底面 ABCD， 所以 AB侧面 PAD.(8 分) 又 MD侧面 PAD， 所以 ABMD.(10 分) 因为 DADP，又 M 为 AP 的中点， 从而 MDPA.(12 分) 又 PA，AB 在平面 PAB 内，PAABA， 所以 MD平面 PAB.(14 分) 16. (1) 在ABC 中，因为 cosA，0b0)的离心率为 ， x2 a2 y2 b2 1 2 所以 ，则 a2c. c a 1 2 因为线段 AF 中点的横坐标为， 2 2 所以. ac 2 2 2 所以 c，则 a28，b2a2c26. 2 所以椭圆的标准方程为1.(4 分) x2 8 y2 6 (2) 因为点 A(a，0)，点 F(c，0)， 所以线段 AF 的中垂

7、线方程为 x. ac 2 又因为ABF 的外接圆的圆心 C 在直线 yx 上， 所以点 C.(6 分) ( ac 2 ，ac 2 ) 因为点 A(a，0)，点 B(0，b)， 所以线段 AB 的中垂线方程为：y . b 2 a b(x a 2) 由点 C 在线段 AB 的中垂线上，得 ， ac 2 b 2 a b( ac 2 a 2) 整理得，b(ac)b2ac，(10 分) 即(bc)(ab)0. 因为 ab0，所以 bc.(12 分) 所以椭圆的离心率 e .(14 分) c a c b2c2 2 2 15 18. (1) 如图 1，过点 O 作与地面垂直的直线交 AB，CD 于点 O1，O2，交劣弧 CD 于点 P，O1P 的长即为拱门最高点到地面的距离. 在 RtO2OC 中，O2OC ，CO2， 33 所以 OO21，圆的半径 ROC2. 所以 O1PROO1RO1O2OO25. 故拱门最高点到地面的距离为 5m.(4 分) (2) 在拱门放倒过程中，过点 O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 P. 当点 P 在劣弧 CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等

8、于圆 O 的半径长与圆心 O 到地面 距离之和； 当点 P 在线段 AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于点 D 到地面的距离. 由(1)知，在 RtOO1B 中，OB2. 3 以 B 为坐标原点，地面所在的直线为 x 轴，建立如图 2 所示的坐标系. 当点 P 在劣弧 CD 上时， 4cos 2sin 0. 63 63 63 所以 h4sin2cos 在上递增. 3 0， 6 所以当 时，h 取得最大值 5. 6 因为 225，所以 h 的最大值为 22. 33 故 h 4sin2 3cos， 0 6， 22 3sin( 6)， 6 0 成立， 所以函数 f(x)在(0，)为增函数；(2 分) 当 a0 时， () 当 xa 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(a，)上为增函数； () 当 00 时，f(x)的最小值为 f(a)， 依题意知 f(a)1lnaa，f(1)a0，函数 f(x)在(a，)为增函数，且函数 f(x)的图象在(a，1)上不 间断. 所以函数 f(x)在(a，)上有唯一的一个零点. 另一方面，因为 0ge20. 1 a ( 1 e) 又 f(a)a2

9、. 不妨设 x1a2，即证 x1. a2 x2 因为 x1，(0，a)，函数 f(x)在(0，a)上为减函数， a2 x2 所以只要证 ff(x1). ( a2 x2) 19 又 f(x1)f(x2)0，即证 ff(x2).(14 分) ( a2 x2) 设函数 F(x)ff(x) 2lnx2lna(xa). ( a2 x) x a a x 所以 F(x)0， （xa）2 ax2 所以函数 F(x)在(a，)上为增函数. 所以 F(x2)F(a)0， 所以 ff(x2)成立. ( a2 x2) 从而 x1x2a2成立. 所以 p2ln(x1x2)2lna2，即 x1f(x1)x2f(x2)2lna2 成立.(16 分) 20. (1) 设等差数列an的公差为 d. 因为等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836， 所以解得 a13d4， 8a18 7 2 d36，) a11， d1. ) 所以数列an的通项公式为 ann.(3 分) (2) 设数列bn的前 n 项和为 Bn. 由得 3(2n1)3(2n11)(b1a2n1b2a2n3bn1a3bna12n) 20 (b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)b1(a2n32)b2(a2n52)bn1(a12)bna12n (b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)2(b1b2bn

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