小学奥数带余除法
5页1、2.6带余除法2.6.1相关概念在整数范围内,整数a除以整数b(b0),若有abqr,(即a=bq+r),0rb。当r=0时,我们称a能被b整除;当r0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的商。2.6.2余数的性质被除数=除数商余数,除数=(被除数余数)商,商=(被除数余数)除数。余数小于除数。2.6.3同余定理(1)如果a,b除以c的余数相同,就称a、b对于除数c来说是同余的,且有a与b的差能被c整除。(a、b、c均为正整数)例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除。(2)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。(3)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(2316)
2、除以5的余数等于31=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(2319)除以5的余数等于(34)除以5的余数。性质(2)(3)都可以推广到多个自然数的情形。2.6.4典型例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。分析与解:由性质(2)知,除数商=被除数-余数。5122-66=5056,5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到5056=2679。由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在6799之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。例2被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。解:因为被除数=除数商+余数=除数33+52,被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数,所以 除数33+52=2058-除数,所以 除数=(2058-52)34=59,被除数=2058-59=1999。例3甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。解:因为 甲=乙11+
3、32,所以 甲+乙=乙11+32+乙=乙12+32=1088,所以 乙=(1088-32)12=88,甲=1088-乙=1000。例4有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50。求这个数。分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为503=162,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在1770之间。由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2529,290在1770之间的约数有29和58。因为11058=15250,所以58不合题意。所求整数是29。例5求478296351除以17的余数。分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数。478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2711)17=91。所求余数是1。例6甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代
4、表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数乙数”除以36的余数等于1125除以36的余数。(1125)36=723,即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。例7 9437569与8057127的乘积被9除,余数是_。讲析:一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。9437569各位数字之和除以9余7;8057127各位数字之和除以9余3。73=21,219=23。所以,9437569与8057127的乘积被9除,余数是3。例8 在1、2、3、4、19
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