重庆市2019届高三学业质量调研抽测（第二次）4月二诊文科数学试题卷含答案解析

1、1 高高 20192019 届高三学生学业调研抽测（第二次）届高三学生学业调研抽测（第二次） 文科数学试题卷文科数学试题卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知 为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分子分母同乘分母共轭复数，化简即可. 【详解】解：因为复数 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题. 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先写出集合 M 和 N，然后求交集即可. 【详解】解：集合 集合 所以 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 3.已知向量，则向量 与的夹角是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先写出向量 与，再计算其夹角即可. 【详解】解：因为，所以 所以 所以向量 与的夹角为 故选：C. 【点睛】本题考查了平面

2、向量坐标运算，夹角公式，属于基础题. 4.将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生分到同一 班级的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由等可能事件的概率直接求出答案即可. 【详解】解：将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则必有一人分到 一个班，另两人分到一个班，共三种情况，且每种情况是等可能的 所以甲、乙两名学生分到同一班级的概率 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题. 5.设等比数列的前 项和为，已知，且与的等差中项为 20，则（ ） A. 127B. 64C. 63D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】 3 先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可. 【详解】解：因为，所以 因为与的等差中项为， ，所以，即， 所以 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题. 6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若直线与平面 所成角相等，则 【答案】B 【解析】

3、 【分析】 结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可. 【详解】解：选项 A 中可能，A 错误；选项 C 中没有说是相交直线，C 错误；选项 D 中若相交， 且都与平面 平行，则直线与平面 所成角相等，但不平行，D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题. 7.在中，角的对边分别为，已知，则边 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由三角形中诱导公式求出，再用正弦定理解出 即可. 【详解】解：因为，所以 4 在中 由正弦定理，所以 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题. 8.把“正整数 除以正整数后的余数为 ”记为，例如.执行如图的该程序框图，输 出的 值为（ ） A. 32B. 35C. 37D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】 由流程图一步步向后判断推理即可. 【详解】解：输入值，第一次判断为否，得；第二次判断为否， 得；第三次判断为是，然后第一次判断为否，得；第四次 判断为否，得；第五次判断为否，得；第六次判断 为否，得；第七次判断为否，得；第八次判断 为是，然后第二

4、次判断为是，得到输出值 故选：C. 5 【点睛】本题考查了流程图中的循环结构，属于基础题. 9.已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由结合角的范围解出、，然后求出，再用二倍角公式求出即可. 【详解】解：由，且，解得 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题. 10.在长方体中，分别为棱上的点，若，则异面直 线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量求解即可. 【详解】解：如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系， 因为，设 所以点， 所以， 6 所以 因为异面直线角为锐角或直角 所以异面直线与所成角的余弦值为 故选：A. 【点睛】本题考查了空间中异面直线的夹角，异面直线夹角可以通过平移异面直线找到夹角再计算，也可以 直接利用空间向量转化为向量夹角计算. 11.已知函数（且）的图像恒过定点 ，设抛物线上任意一点到准线 的距 离为 ，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出

5、定点，由抛物线的定义得，因为两点之间线段最短，所以最小值为. 【详解】解：因为，所以函数的图像恒过定点 又因为点 M 在抛物线上，抛物线焦点， 所以点到准线 的距离为 所以 由两点之间线段最短，所以最小值为 故选：C. 【点睛】本题考查了指数函数的定点，抛物线的定义，属于中档题. 7 12.已知定义在 上的奇函数在上是减函数，且对于任意的都有 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由函数的性质分析出函数在 上单调递减，然后将转化为 ，得，参变分离得对任意的恒 成立，再用换元法求的最大值，得到的范围. 【详解】解：由定义在 上的奇函数在上是减函数，得在上是减函数 所以 所以，即对任意的恒成立 记，则 所以 因为，当且仅当时取等号 所以当的最大为 所以 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性及其应用，不等式的恒成立，恒成立问题中参变分离可有效避免 分类. 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.曲线在点处的切线的斜率为_ （ 为自然对数的底

6、数） 【答案】 【解析】 【分析】 先求导，利用切点处的导数即为该点切线的斜率得出答案. 8 【详解】解：由，得 所以 所以曲线在点处的切线的斜率为 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题. 14.若实数满足不等式组，则的最大值为_ 【答案】16 【解析】 【分析】 先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值. 【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分 然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点 A 处取得最大值 解得点 所以最大为 4 所以的最大值为 16 故答案为：16. 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题. 15.已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为 1，则 的值为 9 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先用辅助角公式，再结合函数定义域求出函数的最大值列出方程求解即可. 【详解】解：因为， 由，得， 所以函数的最大值，即 故答案为： 【点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型三角函数的最值，属于基础题. 16.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为 ，当点在双曲线右支上，点 在圆上运动时，则的最小值为_

7、 【答案】7 【解析】 【分析】 先由双曲线渐近线求出 ，记双曲线的右焦点为，利用，得， 再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案. 【详解】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为 比较方程，得 所以双曲线方程为，点 记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以 所以 由两点之间线段最短，得最小为 因为点 在圆上运动 所以最小为点 F 到圆心的距离减去半径 2 所以 10 所以的最小值为 7 故答案为：7. 【点睛】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行 线段转化是解本题的关键，属于中档题. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知等差数列的公差，前 3 项和，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前 项和. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由，且成等比数列列式求解出和 ，然后写出；（2）由， 用错位相减法求和即可. 【详解】 （1）， 又成等比数列

8、， ，由解得：， （2）， 两式相减，得 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题. 18.为改善人居环境，某区增加了对环境综合治理的资金投入，已知今年治理环境 （亩）与相应的资金投入 （万元）的四组对应数据的散点图如图所示，用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程. 11 （1）求 的值，并预测今年治理环境 10 亩所需投入的资金是多少万元？ （2）已知该区去年治理环境 10 亩所投入的资金为 3.5 万元，根据（1）的结论，请你对该区环境治理给出 一条简短的评价. 【答案】 （1），预测今年治理环境 10 亩所需投入的资金是 7.35 万元. （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求出，由过点，可求出 ，再代入得出所需投入的资金；（2）结合 （1）中尽量投入资金，对比去年资金做出合理评价即可. 【详解】解：（1）由散点图中的数据，可得， 代入，得 从而回归直线方程为 当时，（万元） 预测今年治理环境 10 亩所需投入的资金是 7.35 万元. （2）由（1）预测得今年治理环境 10 亩所需投入的资金是 7.35 万元，而去年该区治理环境 10 亩所投入

9、的 资金为 3.5 万元，今年增加了资金一倍以上，说明该区下了大决心来改善人居环境，值得赞扬. 【点睛】本题考查了线性回归方程及其应用，实际问题的分析与评价，属于基础题. 19.已知离心率为的椭圆 ：的右焦点为，点 到直线的距离为 1. （1）求椭圆 的方程； （2）若过点的直线 与椭圆 相交于不同的两点，当时，求直线 的斜率 的取值范围. 【答案】 （1）（2）或 12 【解析】 【分析】 （1）由离心率为和点 到直线的距离为 1 列出方程组解出，得出椭圆方程；（2）设出直线方程， 联立椭圆方程得到韦达定理，用弦长公式求出列出不等式，解出 的范围即可. 【详解】解：（1）由题意：得，即 又，即 ， 椭圆 的方程为 （2）设， 由，得 由，得（*） ， ，即 ， 结合（*） ，得 或 【点睛】本题考查了椭圆的方程与几何性质，直线与椭圆的相交弦长，属于中档题. 20.如图，在三棱台中，已知两两互相垂直，点 为的中点， . 13 （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）取的中点 ，连接，易证得平面，从而，又易证四边形是菱形， 得，所以平面；（2）由，故只要求出和即可. 【详解】解：（1）证明：如图，取的中点 ，连接， ，点 为的中点， ， ， ， 平面 由已知，可得， 四边形是菱形 ，平面 （2）由已知，可得， 设点到平面的距离为 ， ，即点到平面的距离为. 14 【点睛】本题考查了线面垂直的证明，点到面的距离，点到面的距离常采用体积交换法求解，合理构造三棱 锥并求出其体积是关键. 21.已知函数，其中 为自然对数的底数. （1）讨论的单调区间； （2）若，设函数，当不等式在上恒成立时， 求实数的取值范围. 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）求导，分和解不等式和，得函数单调区间；（2）由求出 ， 代入参变分离得在上恒成立，记，用 导数求出的最大值即可. 【详解】 （1） 当时，由，得，由，得 的增区间为，减区间为 当时，得，由，得 的增区间为，

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