福建省等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案解析

1、1 2018-2019 学年第二学期半期考学年第二学期半期考 高二数学（理科）试题高二数学（理科）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的题目要求的. 1.若复数（aR，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 6 【答案】C 【解析】 解：因为是纯虚数，因此实部为零，则 a+6=0,a=-6 2.函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可. 【详解】函数的导数， 则函数在点处的切线斜率， 因为， 所以切点坐标为为， 则切线方程为， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数的几何意义， 直线方程的点斜式，属于简单题目. 3.函数的递增区间是（ ） A. B. 和C. D. 和 【答案】C 2 【解析】 【分析】 先求出函数的导数，再令导数大于 0，即

2、可求得函数的递增区间. 【详解】由题意，函数的定义域为， 因为，所以， 令，即， 解得或， 又因为函数的定义域是， 所以函数的递增区间是， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关函数的单调增区间的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性的问题， 属于简单题目. 4.函数 的图象如下图所示，则导函数 的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 函数先减后增，再为常数，所以导函数先负后正，再为零，选 D. 5.计算为( ) A. B. C. D. 【答案】A 3 【解析】 【分析】 求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关定积分的求解问题，注意被积函数的原函数的正确求解，属于简单题目. 6.用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边 需增加的代数式是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果. 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用当时，左边的代数式减去时，左边的代数式的结果为： ，

3、 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关应用数学归纳法证明问题的过程中，由到增加的项的问题，注意对 式子的正确归纳，属于简单题目. 7.已知函数在处取得极值 10，则（ ） A. 或B. 或C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 4 根据函数在处取得极值 10，得，由此求得的值，再验证是否符合题意即可. 【详解】函数在处取得极值 10， 所以， 且， 解得或， 当时， 根据极值的定义知道，此时函数无极值； 当时， 令得或，符合题意； 所以， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数 在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 8.如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第 1 代“勾股 树”，重复图一的作法，得到图二为第 2 代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 n 代“勾 股树”所有正方形的面积的和为（ ） A. nB. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中所给的条件，最大的正方形的面积为 1，从而得到直角三角形的斜边长

4、为 1，两个直角边的平方和 为 1，从而得到图一的三个正方形面积和为 2，再算出图二的“勾股树”的所有正方形的面积和为 3，观察 各选项中的式子求得结果. 【详解】最大的正方形的面积为 1， 当时，由勾股定理知正方形面积的和为 2， 5 由此类推，所有正方形面积的和为， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关“勾股树”的所有正方形的面积和的问题，在解题的过程中，注意应用前两个图 中的结果，对式子进行验证，求得结果，属于简单题目. 9.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)113t(t 的单位：s，v 的单 位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ） A. 425ln5B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意首先求得积分上限，然后结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果. 【详解】求解方程，即，解得或， 结合，可得， 则汽车行驶的距离为 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关利用速度与时间的关系求直至停止所行的路程问题，涉及到的知识点有位移的导 数是速度，所以速度在对应时间段内的定积分为路程，从而求得结果. 10.

5、我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限 次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则 （ ） A. B. 3C. 6D. 【答案】A 6 【解析】 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根） ，可得要求的式子，令 ，则两边平方得，得，即，解得 舍去，故选 A. 11.函数在-2,2的最大值为 2，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用导数，判断函数在时的单调性，求得函数在上的最大值为 2,；欲使得函数在 上的最大值为 2，则当时，从而解得 的范围. 【详解】由题意，当时， 可得， 根据导数的符号可以断定函数在是单调增，在上单调减， 所以函数在上的最大值为； 要使函数在上的最大值为 2， 则当时，的值必须小于等于 2， 即， 解得， 所以 的取值范围是， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关根据分段函数的最值求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有应用导数研究 函

6、数的最值，属于简单题目. 12.已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ） 7 A. 对于任意，B. 对于任意， C. 当且仅当D. 当且仅当 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得，结合函数的单调性，从而可以判断，即在 上单调递增，从而判断出结果. 【详解】因为，是定义在上的增函数， 所以，即， 所以， 所以函数在上单调递增，所以， 当时，则时， ， 当时，故， 因为是定义在上的增函数，所以对任意恒成立， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关构造函数，利用函数的单调性，确定函数值的符号的问题，属于中档题目. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.在复平面内，复数对应的点的坐标为_ 【答案】 【解析】 试题分析：因为，所以复数对应的点的坐标为. 考点：复数的运算 14.如图，在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_. 8 【答案】 【解析】 【分析】 利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，

7、即可求解。 【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为， 由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为。 【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中 解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 15.定义 A*B，B*C，C*D，D*B 依次对应如图所示的 4 个图形： 那么以下 4 个图形中，可以表示 A*D 的是_（填与图形对应的序号） 【答案】 （2） 【解析】 【分析】 分别对比和，和，和，得到 B、C、D 及 A 所代表的图形，再将 A 与 D 组合，判断定义式 9 为所表示的图形，进而得到答案. 【详解】对比和，共同点是都有大矩形，而定义式中都含有 B， 因此可以判断 B 代表大矩形，所以 A 就是一条竖线； 对于和，共同点是都有小矩形，而定义式中都含有 D， 因此可以判断 D 代表小矩形； 则可以判断定义式为的图形为（2）. 【点睛】这是一道考查归纳推理的题目，在求解的过程中，要找到图形中的规律. 16.任意，使得成立，则 的取值范围是_. 【答案】 【解析】

8、 【分析】 利用导函数讨论其单调性，任意，使得成立，等价于，使得成立，对 分 类讨论，即可求解 的取值范围. 【详解】由成立， 令， 则， 因为，所以在上单调减，在上单调增， 所以当时，任意，使得成立， 可化为，显然成立，即； 当时，函数在上是减函数， 可化为，解得，所以； 综上可得： 的取值范围是 ， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式在某个区间上恒成立，求参数的取值范围的问题，注意将其向最值靠 拢，注意分类讨论思想的应用. 10 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.设复数（其中） ， （）若是实数，求的值； （）若是纯虚数，求 【答案】 （）224i（） 【解析】 【分析】 （）利用复数 z1z2是实数，求得 a4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （）利用复数的除法运算法则，求得，利用复数是纯虚数的条件求得 的值，之后应用复数模的公式求 得结果 【详解】 （）z1z25（a4）i 是实数， a4，z124i， z1z2（24i） （34i）224i； （）是纯虚数， ，

9、 故 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数 的除法运算，复数的模，属于简单题目. 18.已知函数，其中. （）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式. （）当时，讨论函数的单调性. 【答案】 （）（）见解析 【解析】 【分析】 11 （）先求函数的导数，令，求出 的值，切点在函数的图象上也在直线 上，可求出 的值，最后得到答案； （）对的解析式进行因式分解，之后进行讨论可得答案. 【详解】 （） . 由导数的几何意义得，于是. 由切点在直线上可知. 所以； （）， 当时，,函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数； 当时，函数在区间上为增函数； 当时，函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，利用函数在某个 点的切线方程求有关参数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题目. 19.如图：在三棱锥中，是直角三角形，点 分别为的中点 （）求证：； （）求二面角的余弦值 【答案】 （）见解析（） 【解析】 【分析】 （）连结 BD，根据题意可知 BDAC，EFAC，从而得到，又因为 PB面 ABC，得到 PB，利用线面垂直的判定定理，证得平面 PBD； （）根据题意，建立适当的坐标系，根据题中所给的边长，确定对应点的坐标，分别求出两个平面的法向 12 量，再由夹角公式求二面角的余弦值，从而求得结果. 【详解】 （）证明：连接 BD、在ABC 中，B=90 AB=BC，点 D 为 AC 的中点，BDAC E、F 分别为 AB、BC 的中点，EFAC， ,又PB面 ABC，EF平面 ABC,PB, 平面 PBD； （）PB=BC=2 如图建立空间直角坐标系， 则 E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则 =(-1,2,0), =(-1,0,2) 设平面 PEC 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则 =0， =0 即 令 x=2,

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