四川省2018-2019学年高一下学期期中考试理科数学试题含答案解析

1、1 成都外国语学校成都外国语学校 2018201820192019 学年度下期期中考试学年度下期期中考试 高一数学试卷高一数学试卷( (理理) ) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 6060 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一分，在每小题所给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。 1.一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则 的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合等差数列的等差中项的性质，以及三角形内角和，即可求出角 . 【详解】由题意可知，又，则，解得，故选 . 【点睛】主要考查了等差中项的性质，以及三角形内角和，属于基础题. 2.数列的一个通项公式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 数列的一个通项公式是 即为 故选 C. 3.下面关于等比数列和公比 叙述正确的是（ ） A. 为递增数列B. 为递增函数 C. 为递减数列D. 为递增函数列且为递增函数 2 【答案】D 【解

2、析】 【分析】 通过举反例即可将项分别排除，确定正确答案. 【详解】 项：若，则的各项为，显然是递减数列，不正确. 项：等比数列的各项为，是递增数列，该选项不正确. 项：若，则的各项为，显然是递增数列，不正确. 利用排除法即可知，只有 项正确. 【点睛】主要考查了等比数列的单调性问题，属于基础题. 4.在ABC 中角所对的边分别为以下叙述或变形中错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合正弦定理，诱导公式以及大边对大角即可判断. 【详解】因为当时，则或，则或，所以不一定能得到， 故 B 不正确，答案选 B. 【点睛】主要考查了正弦定理的理解，以及三角形的相关结论如大边对大角，属于基础题. 5.ABC 中，若，则ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 2sinAcosBsin（AB）sin（AB） ，且 2sinAcosBsinC， sin（AB）0AB 6.已知 、 为锐角，cos ，tan() ，则 tan ( ) 3 A. B. 3C. D. 【答案】B 【解析】 【分

3、析】 利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值. 【详解】因为，且 为锐角，则，所以， 因为， 所以 故选 B. 【点睛】主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键 是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求 已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出. 7.设 是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是 （ ） A. d0B. a70C. S9S5D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大 值 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题设条件且 S5S6，S6=S7S8，则可判断 A 的正确性；且 S5S6，S6=S7S8，则 a7=0， 可判断 B 正确；在等差数列中 Sn等差数列的前 n 项和公式存在最大值可判断数列的单调性，这样可判断 D 的正确性；利用数列的前 n 项和定义与等差数列的性质，来判断 D 的正确性解：S5S6，S6=S7S8，则 A 正确；S6=S7，a7=0，B 正确；S5S6，S6

4、=S7S8，则 a60，a7=0，a80，d0，A 正确 a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）0，S9S5，C 错误故选 C 考点：命题的真假, 等差数列的前 n 项和公式 点评：本题借助考查命题的真假判断，考查等差数列的前 n 项和公式及等差数列的性质在等差数列中 Sn 存在最大值的条件是：a10，d0一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法 8.在中，已知则此三角形有几个解 ( ) 4 A. 0B. 1C. 2D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角形多解问题判断方法即可判断. 【详解】因为，所以三角形只有一个解，故选 B. 【点睛】主要考查了三角形多解问题，属于基础题.对于三角形多解问题，判断方法如下：已知，且 为锐角，则 （1）如果，无解； （2）如果，有一解且； （3）如果， 有两解（一个锐角，一个钝角） ； （4）如果，有一解且 为锐角. 已知，且 为钝角，则 （1）如果，无解； （2）如果，则有一解且 为锐角. 9.在中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若，且，则下列关系一定不成 立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题

5、分析：由余弦定理，得，由正弦定理，得 ，或当时，为直角三角形，且，所以 C，D 可能成立；当时，所以，即 A 可能成立，因此一定不成立的是选项 B 考点：正弦定理与余弦定理的应用 10.已知 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 5 试题分析： 由得： 解方程组：得：或 因为，所以所以不合题意，舍去 所以，所以，故选 C. 考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式. 11.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元，为还清这笔贷款， 该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的 m 年后还清，若银行按年 利率为 p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息） ，则该学生家长每年的偿还 金额是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意建立方程，再结合等比数列求和公式，即可 求出 的值. 【详解】设每年偿还的金额为 ， 则， 所以， 解得 故选 D. 6 【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应

6、用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结 合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解. 12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有 3 个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子， 最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这 个盘子从甲 柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且 3 个柱子 上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时， 和满足 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式. 【详解】若甲柱有 个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中， 当时，将移到乙柱，只移动 1 次； 当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动 2 次； 当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，； 当时，将上面的 3 个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的 3 个移到乙柱，共次，所以 次； 当时，将上面的 4 个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的 4 个移到乙柱，

7、共次，所以 次； 以此类推，可知， 故选 . 【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到 对应的递推公式. 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13.在中角所对的边分别为，若则_ 【答案】 7 【解析】 ,；由正弦定理，得，解得. 考点：正弦定理. 14.设为数列的前 项和，已知，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用与的关系，将转化为，化简即可证明为等差数列，从而利 用公式求出. 【详解】因为当时，则， 当时，化简得， 所以是以为首项，2 为公差的等差数列， 所以，即 【点睛】主要考查了与的关系，以及等差数列的通项公式，属于中档题.这类型题的关键在于利用与 的关系进行转化，有两个转化方向：（1）将转化为；（2）将转化为. 15.已知非零平面向量满足 ，且 与的夹角为，则的最大值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 运用平面向量夹角公式，结合向量的相关运算，即可将的最值求解. 【详解】设 与 夹角为 ，则由题意， 化简得， 解得， 而由 与夹角

8、为，可知， 则（舍 去） 8 则当时，取得最大值 . 【点睛】主要考查了平面向量的夹角公式，数量积，辅助角公式，函数与方程思想，属于难题.对于范围型 问题，主要有三种思路：（1）通过建立关于目标变量的一元函数，运用函数相关结论求出最值.（2）通过 运用基本不等式求解目标变量的最值；（3）通过建立约束条件以及目标函数，运用数形结合的方法求出目 标变量的最值. 16.已知的三个内角的对边分别为，满足，且，则的 值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用题目的条件，结合正弦定理将边化角，然后通过三角恒等变换，即可得关于 的等式， 再结合，消去即可求出. 【详解】因为，结合正弦定理可得： 又因为，代入上式得： 因为， 则得，代入化简得 ， 又因为 所以. 【点睛】主要考查了已知恒等式解三角形问题，正弦定理的应用，以及三角恒等变换，属于难题.对于已知 恒等式解三角形问题，主要有两个方向进行求解：（1）利用正余弦定理将角化边，利用边的代数变换求解 三角形；（2）利用正余弦定理将边化角，再利用三角恒等变换求解三角形. 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 7070

9、 分分) )：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值 9 【答案】,最大值为,最小值为 【解析】 试题分析：逆用二倍角公式将化成的形式，利用周期公式求其周期，再利 用正弦函数的图像与性质进行求解. 试题解析： 2 分 ， 4 分 5 分 因为，所以， 6 分 当时，即时，的最大值为， 7 分 当时，即时，的最小值为. 考点：1.三角恒等变换；2.三角恒等的图像与性质. 18.已知 sincos， (1)求 sin2 和 tan2 的值； (2)求 cos(2)的值 【答案】(1) sin2 ，tan2 ， （2）cos(2) 【解析】 分析：（1）把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得 sin2 的值，根据 2 的范围利用同角三角函数间的关系求出 cos2 即可得到 tan2 的值； （2）根据 的范围求出的范围，由 sin（）的值利用同角三角函数间的关系求出 cos（）的值， 然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别求出 sin2 和 cos2 的值，根据第一问分别 求出 sin 和 cos 的值，把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将每个三角函数值代入即可求 10 出 详解：(1)由题意得(sincos)2 ，即 1sin2 ，sin2 . 又 2(0， )，cos2 ，tan2 . (2)( ， )， (0， )，cos( ) ， 于是sin2( )2sin( )cos( ). 又 sin2( )cos2，cos2.又 2( ，)，sin2. 又 cos2 ，cos，sin(0， ) cos(2

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