江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷含答案

1、1 2019 届高三第二次调研测试届高三第二次调研测试 数学学科数学学科 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 已知集合，若，则实数 a 的值为 1 3Aa，4 5B，AB I4 【答案】4 2 复数（ 为虚数单位）的实部为 2i 2i z i 【答案】 2 5 3 某单位普通职工和行政人员共 280 人为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况， 现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为 56 的样本已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 【答案】35 4.从甲、乙、丙、丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有 1 人被选 中的概率为 【答案】 2 3 5 执行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为 【答案】30 6. . 函数的定义域为 416 x y 【答案】2) ， 7. . 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 2sin3yx 12 ( )yf x 3 f 【答案】2 8. . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的xOy 2 2 22 1(00) y x ab ab

2、 ，(2 0)A， 距离为，则 b 的值为 2 【答案】2 9 在ABC 中，已知 C 120，sinB 2 sinA，且ABC 的面积为，则 AB 的长为 2 3 【答案】2 7 10设 P，A，B，C 为球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA 2 m，PB 3 m， PC 4 m，则球 O 的表面积为 m2 i 1 S 2 While 7i S S i i i + 2 End While Print S （第 5 题） 2 【答案】29 11定义在R 上的奇函数满足，且在区间上，( )f x(4)( )f xf x24， 223 ( ) 4 34 xx f x xx ， ， 则函数的零点的个数为 5 ( )logyf xx| | 【答案】5 12已知关于的不等式( a，b，cR ) 的解集为 x | 3 x 4，则的最小x 2 0axbxc 2 5c ab 值为 【答案】4 5 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 在圆上，且，点 P（3，1） ， 22 4xy2 2AB ，设的中点M 的横坐标为 x0，则 x0的所有值为 16POPAPB uuu

3、 ruu ruur AB 【答案】 1 1 5 ， 14已知集合，从集合中取出个不同元|21|88NNAx xkkBx xkk ，Am 素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为若，则的SBnT967STnm2 最大值为 【答案】44 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中，设向量 a ，b ，其中(cossin)， sin() cos() 66 ， 0 2 （1）若 ab，求的值； （2）若，求的值 1 tan2 7 a b 【解】 （1）因为 ab， 所以，2 分 coscos()sinsin()0 66 所以 4 分 cos(2)0 6 因为，所以 0 2 7 2 666 于是 解得 6 分 2 62 ， 6 （2）因为，所以，又，故 0 2 02 1 tan20 7 2 2 因为，所以， sin21 tan2 cos27 cos27sin20 又， 22 sin 2cos 21 3 解得10 分 27 2 sin2cos2 1010 ， 因此， 12 分a b cossin()+sincos()sin(2) 66

4、6 sin2 coscos2 sin 66 14 分 367 227 21 10210220 16. (本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，A1B1B1C1设 A1C 与 AC1交于 点 D，B1C 与 BC1交于点 E 求证：（1）DE平面 ABB1A1； （2）BC1平面 A1B1C 【证明】 （1）因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以侧面 ACC1 A1为平行四边形 又 A1C 与 AC1交于点 D，所以 D 为 AC1的中点， 同理，E 为 BC1的中点所以 DEAB3 分 又 AB平面 ABB1 A1，DE平面 ABB1 A1， 所以 DE平面 ABB1A1 6 分 （2）因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB1平面 A1B1C1 又因为 A1B1平面 A1B1C1，所以 BB1A1B1 8 分 又 A1B1B1C1，BB1，B1C1平面 BCC1B1，BB1B1C1 B1， 所以 A1B1平面 BCC1B1 10 分 又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 A1B1BC112 分 又因为侧面

5、BCC1B1为正方形，所以 BC1B1C 又 A1B1B1C B1，A1B1，B1C 平面 A1B1C， 所以 BC1平面 A1B1C14 分 17. (本小题满分 14 分) 图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全 等的三角形点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M已知 HM 5 m，BC 10 m， 梯形ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍设FMH (0) 4 （1）求屋顶面积 S 关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k 为正的常数） ，下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为 16 k现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当为 A B C A1 B1 C1 E D （第 16 题） 4 何值时，总造价最低？ 【解】 （1）由题意 FH平面 ABCD，FMBC， 又因为 HM 平面 ABCD，得 FHHM 2 分 在 RtFHM 中，HM 5，FMH 所以4 分 5 co

6、s FM 因此FBC 的面积为 1525 10 2coscos 从而屋顶面积22 V梯形FBCABFE SSS 2525160 222.2 coscoscos 所以 S 关于的函数关系式为() 6 分 160 cos S 0 4 （2）在 RtFHM 中，所以主体高度为 8 分5tanFH65tanh 所以别墅总造价为16yS khk 160 (65tan ) 16 cos kk 16080sin 96 coscos kkk 10 分 2sin 8096 cos kk 记， 2sin ( ) cos f 0 4 所以， 2sin1 ( ) cos f 2 令，得，又，所以12 分( )0f 1 sin 2 0 4 6 列表： 所以当时，有最小值 6 ( )f 答：当为时该别墅总造价最低 14 分 6 0 6 ， 6 64 ， ( )f 0 ( )f 3 Z （第 17 题） AB C D EF H M AB C D EF H M 5 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：，椭圆 C2：， 2 2 1 4 x y 2 2 22 1(0) y

7、x ab ab C2与 C1的长轴长之比为1，离心率相同2 （1）求椭圆 C2的标准方程； （2）设点为椭圆 C2上一点P 射线与椭圆 C1依次交于点，求证：为定值；POAB， PA PB 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆 C1均有且只有P 12 kk， 12 ll， 12 ll， 一个公共点，求证：为定值 12 kk 【解】 （1）设椭圆 C2的焦距为 2c，由题意，2 2a 3 2 c a 222 abc 解得，因此椭圆 C2的标准方程为 3 分2b 2 2 1 82 y x （2）1当直线 OP 斜率不存在时， ，则 4 分21PA 21PB 21 32 2 21 PA PB 2当直线 OP 斜率存在时，设直线 OP 的方程为，ykx 代入椭圆 C1的方程，消去 y，得， 22 (41)4kx 所以，同理6 分 2 2 4 41 A x k 2 2 8 41 P x k 所以，由题意，同号，所以， 22 2 PA xx PA xx与2 PA xx 从而 | 21 32 2 | 21 PAPA PBPA xxxx PA PBxxxx 所以为定值 8 分32 2 PA PB 设，所以直线的方程为，即， 00 ()P xy， 1 l 010 ()yyk xx 1100 yk xk yx 记，则的方程为， 100 tk yx 1 l 1 yk xt 代入椭圆 C1的方程，消去 y，得， 222 11 (41)8440kxk txt 因为直线与椭圆 C1有且只有一个公共点， 1 l 所以，即， 222 11 (8)4(41)(44)0k tktV 22 1 410kt 将代入上式，整理得， 12 分 100 tk yx 222 010010 (4)210xkx y ky 同理可得， 222 020020 (4)210xkx y ky 所以为关于 k 的方程的两根， 12 kk， 222 0000 (4)210xkx y ky 从 P A B （第 18 题） x y O 6 而14

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