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2013高一数学精选教案：《函数的极大值与极小值》（湘教版选修1-1）

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常见问题

1、。【教学目标】理解函数的极大值与极小值的概念；会求多项式函数的极大值与极小值；进一步渗透数形结合的数学思想，培养学生识图的直观认识，以实现到抽象思维的飞跃过渡；领会数学的严谨思维，体会其鉴赏美。【教学重点】求函数的极大值与极小值。【教学难点】函数取得极大值与极小值的条件。【教学方法】根据学生上节的学习，选择检测题目，以达到承上启下的效果，使新课的学习水到渠成，充分发挥学生的主体作用，力求增强学生在活动练习过程中的体验感悟，采用合作探究式的学习方法，形成教学互动，激发学生发现探究热情。【教学过程】一、检测导课，温故知新已知函数f(x)=3x-x的导函数f(x)=3-3x的图象如图1,试画出原函数f(x)的草图。-13-110xy图1同学们都会迅速进入状态，在练习本上画图，但由于这是学习导数的单调性与极值的第二课时，同学们对函数与它的导函数的相互关系掌握得还不够透彻，三次函数我们以前也没有在课本上详细学习，因此相当一部分学生也不可能快速准确完成。几分钟过后，同桌前后桌开始相互看对错，教师在学生练习过程中会发现主要的缺漏不足有：1）看不懂导函数的图象提供给我们什么信息；2） f(

2、x)0推不出原函数f(x)是增函数，找不到增区间是（-1，1）；3） f(x)0推不出原函数f(x)是减函数，找不到减区间是（-，-1），（1，+）；4）看不到x=-1，x=1是函数单调性发生变化的点（即拐点）；5）忘记描点画图的关键是找点，而x=-1，x=1是图象上给出的最特殊的点，可以容易算出f(-1)=-2；f(1)=2；即图象过点（-1，-2）；（1，2）；6）看不出图象过点（0，0），即原点在图象上。（此练习的目的是复习上节课的内容，给出图象，而不是解不等式f(x)0，或f(x)0，得单调区间，实质上，现在题目用图象形式出现，问题更简单。巧设题目，激发学生的求知欲）积极的优秀学生也能准确地画出函数f(x)=3x-x草图如图2y103-1-22图2x二、数形结合，引入新课师同学们仔细观察函数f(x)=3x-x图象，比较函数在x=1的函数值与它附近所有各点的函数值的大小关系如何？学生会不约而同回答：在x=-1时，函数值最小，在x=1时，函数值最大。教师反问：是最小？最大？这时，会有同学意识到问题不大正确，进入思考，纠正。教师适时引入课题：函数的极大值与极小值（师板书）

3、下面同学们打开课本第47页，用2分钟时间阅读前二自然段，理解函数的极大值与极小值的概念，并识记。2分钟后，教师再问：在x=-1时，函数取得什么值？在x=1时，函数取得什么值？此时，学生会正确回答极小值，极大值。教师肯定表扬，同时强调：函数的极大值与极小值是函数的局部性质，而最大值、最小值才是函数整个定义域上的性质。（函数的最大值、最小值下节课学习）那么，下一个问题是：如何求函数的极大值与极小值？学生此时会窃窃思语，小声讨论。师我们反过来再仔细研究图1与图2的相互关系，图象上的直观性反映到数学式f(x)与f(x)上如何体现？学生再次进入思考，几分钟后，有学生回答：生甲 f(x)0推出原函数f(x)在（-1，1）是增函数生乙 f(x)0推出原函数f(x)在（-，-1），（1，+）是减函数生丙 f(x)取极小值，极大值时，f(x)=0师非常好，那么具体求时，应怎样写步骤呢？同学们再次看书第47页余下部分，包括例3，请认真理解，掌握（5分钟时间）。（教师同时板书）求某个可导函数f(x)的极大值与极小值的一般方法：求导数f(x)；求方程f(x)=0的根；检查f(x)在方程f(x)=0

4、的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值。教师请同学分析讲解例三，主要看关键的几点是否掌握：列表，如何划分区间；如何判断每个区间上的正负，最简单方法在该区间上取某个特殊值代入f(x)函数式检验；求极值是把方程f(x)=0的根x代入函数f(x)计算求得：画草图注意单调性，单调区间；极小值，极大值；与纵轴y的交点（0，f(0)）（此是本节课的第一个高潮）三、夯实基础，实践应用学生练习课本第48页4个习题，分为两组，1组做、2组做，每组出一个代表在讲台板演，并画出草图。（此练习同学完成应该问题不大，目的是强化做题步骤，熟练掌握）四、设置障碍，深化知识例4 求函数f(x)=x-3x+3x的极值现在的学生会很快进入解决问题的状态之中，但也很快会发现这个题目与以前的例题、练习题与众不同，差别在于列表一步，如下表：x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y无极值极小值无极值因此，当x=0时，函数有极小值，把x=0代入f(x)=x-3x+

5、3x，得极小值是0，如图3(此表与课本第48页例3的列表略有不同,它与下一节函数的最大值、最小值例题的列表一样,目的仍然是承上启下,便于学习理解、掌握)y-11111011x图3理由是：f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号相同。因此f(x)=0是函数f(x)在点x处取的极值的必要非充分条件。（此是本节课又第一个高潮）讨论:同学们能否想出一个这样的简单例子呢?试说明理由,画出草图。积极讨论后会有同学想出函数f(x)=x。理由是：f(x)=x，f(x)=0的根x左右两侧的符号同正，故点x不是函数的f(x)=x极值点如图xy图（此题及图起到柳暗花明，原来如此简单的效果）五、总结归纳，豁然开朗这节课我们就学习到这里，请同学们反思小结，说说自己的所学所得。【设计意图】新课的设计初衷以前教学新授此内容时，都是按课本编排用书上现有的内容顺次进行，平铺直叙，没有悬念，没有高潮，学生被动接受，内容简单，有时认为内容单一，会与函数的单调性一起学习，这样会淡化重点，弱化主体知识。所以本节我以上节的知识检测为切入口，既复习了原有知识，又导入本节的学习，并且从一上课，就让同学参与课堂，成为学习的主人，以自己的作品（图象）为探究学习的对象，学生会兴趣盎然，很有成就感。这样既激发了学生的求知欲，又尊重了学生的才智人格，符合人文教育。例题、练习题的设计初衷补充的例4是加强基础，同时更是求极大值与极小值条件深化的理解掌握，应用，有利于培养学生的数形结合的数学思想。也有利于培养学生严谨的数学思维，提高其鉴赏美。练习题的设计首先以课本的习题为基础，培养学生的基本能力，而讨论题的出现，则是知识巩固，技能形成的重要手段，更是学生知识拓展、思维深化的必然，同时是对学生个性的发展与张扬，对学生的鼓舞和尊重。

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