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2014届陕西高考数学（文）一轮课时提升训练：2.3《函数的奇偶性与周期性》（北师大版）

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常见问题

1、一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012西安模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(1,0)上单调递增的函数是()(A)y|x|1(B)yx21(C)y2|x|(D)ycosx2.(2011山东高考)对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图像关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x(，0)时，f(x)log2(3x1)，则f(2 011)()(A)2(B)2(C)4(D)log274.已知偶函数f(x)在(0，)上的图像如图，则下列函数中与f(x)在(，0)上单调性不同的是()(A)ylg|x| (B)y|2x1|(C)y (D)y5.函数f(x)对任意的xR，恒有f(x2)f(x)，且f(1)2，则f(11)()(A)2(B)2(C)0(D)16.(2012铜川模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()(A)f(25)f(11)f(80)(B)f(80)f(11)f(25)

2、(C)f(11)f(80)f(25)(D)f(25)f(80)0.(1)求f()；(2)证明：yf(x)是周期函数.【探究创新】(16分)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM(MD)，有xlD，且f(xl)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.(1)如果定义域为1，)的函数f(x)x2为1，)上的m高调函数，求实数m的取值范围.(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)|xa2|a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.所给函数中均为偶函数，但y|x|1和yx21及ycosx在(1,0)上均为减函数，只有y2|x|符合要求.2.【解析】选B.yf(x)是奇函数，则图像关于原点对称，所以y|f(x)|的图像关于y轴对称，反之，y|f(x)|的图像关于y轴对称，yf(x)不一定为奇函数.3.【解析】选A.由已知f(2 011)f(67031)f(1)f(1)log2(31)2.4.【解题指南】先利用偶函数图像的性质，判断出f(x)在(，0)上的单调性，再逐个验证其是否不同即可.【解析】选C.由图像知f(

3、x)在(，0)上单调递减；而A中ylg|x|在(，0)上为减函数，B中y|2x1|在(，0)上为减函数，C中函数在(，0)上为增函数，D中函数在 (，0)上为减函数，故选C.5.【解析】选A.由f(x2)f(x)得f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的函数，f(11)f(83)f(3)f(12)f(1)2.6.【解题指南】求解的关键是根据f(x4)f(x)探究出f(x)的对称性及周期性，然后根据其周期性、对称性，将待比较函数变量转化到2,2上，进而利用单调性比较出其大小.【解析】选D.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，即f(x4)f(x)，f(4x)f(x)，所以函数图像关于x2对称，且f(0)0，又由已知得f(x8)f(x4)4)f(x4)f(x)，故函数是以8为周期的周期函数，f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)f(41)f(1)，由于奇函数f(x)在0,2上是增函数，f(x)在2,2上为增函数，故f(1)f(0)f(1)，f(25)f(80)0，所以f().(2)因为yf(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x1对称.所以f(x)f(x)，f(x)f(x2)即f(x)f(x2)，所以yf(x)是周期为2的周期函数.【变式备选】已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，若对任意的a、b1,1，当ab0时，总有0.(1)判断函数f(x)在1,1上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x1)f().【解析】(1)f(x)在1,1上是增函数，证明如下：任取x1、x21,1，且x1x2，则x1x20，而x1x20，故f(x1)f(x2)，故f(x)在1,1上是增函数.(2)由f(x)在1,1上是增函数知：，解得即2x，故不等式的解集为x|2x.【探究创新】【解析】(1)f(x)x2(x1)的图像如图(1)所示，要使得f(1m)f(1)，有m2；x1时，恒有f(x2)f(x)，故m2即可.所以实数m的取值范围为2，)；(2)由f(x)为奇函数及x0时的解析式知f(x)的图像如图(2)所示，f(3a2)a2f(a2)，由f(a24)f(a2)a2f(3a2)，故a243a2，从而a21，又a21时，恒有f(x4)f(x)，故a21即可.所以实数a的取值范围为1,1.

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