2014数学一轮考点归纳集训:《简单的三角恒等变换》
18页1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).1.以选择题或填空题的形式单独考查,如2012年江苏T11. 2.在解答题中,与三角函数的图象与性质、解三角形等综合,突出考查三角恒等变换的工具性作用,如2012年安徽T16等.归纳知识整合1半角公式(1)用cos 表示sin2,cos2,tan2.sin2;cos2;tan2.(2)用cos 表示sin,cos,tan.sin ;cos ;tan .(3)用sin ,cos 表示tan.tan.探究如何用tan 表示sin 2与cos 2?提示:sin 22sin cos ;cos 2cos2sin2.2形如asin xbcos x的化简asin xbcos xsin(x),其中tan .自测牛刀小试1(教材习题改编)化简的结果是()Acos 1Bcos 1C.cos 1 Dcos 1解析:选Ccos 1.2.的值为()A.BC1D1解析:选B.3若f(x)2tan x,则f的值为()AB8 C4
2、D4解析:选Bf(x)2tan x2tan x,f8.4(教材习题改编)函数ycos 4xsin 4x的最小正周期为_解析:ycos 4xsin 4x222cos,故T.答案:5若cos ,是第三象限角,则_.解析:cos ,且是第三象限角,sin ,.答案:三角函数式的化简例1(1)化简:_;(2)已知0x,化简:lglglg(1sin 2x)自主解答(1)原式2cos .(2)原式lg(sin xcos x)lg(sin xcos x)lg(1sin 2x)lglglg 10.答案(1)2cos 1.三角函数式的化简原则一是统一角,二是统一函数名,能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值;(2)尽量使三角函数种数最少;(3)尽量使项数最少;(4)尽量使分母不含三角函数;(5)尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.1化简:.解:原式.三角函数求值例2已知,tan .(1)求tan 的值;(2)求的值自主解答(1)tan ,3tan210tan 30,解得tan
3、 或tan 3.,1tan 0.tan .(2)tan ,.保持本例条件不变,求的值解:tan . 已知三角函数式的值,求其他三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.2已知sin(2),sin ,且,求sin 的值解:,22.0,0,2,而sin(2)0,22,cos(2).又0且sin ,cos ,cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin .又cos 212sin2,sin2.又,sin .asin xbcos x sin(x)的应用例3(2013西域模拟)已知函数f(x)sin2xsin xcos x,x.(1)求f(x)的零点;(2)求f(x)的最大值和最小值自主解答(1)令f(x)0,得sin x(sin xcos x)0,所以sin x0或tan x.由sin x0,x,得x;由tan x,x,得x.综上,函数f(x)的零点为或.(2)f(x)(1cos 2x)sin 2xsin.因为x,所以2x.所以当2x,即x时,f(x)的最大值为;当2x,即x
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