2014数学一轮考点归纳集训：《空间点、直线、平面之间的位置关系》

1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1.直线、平面位置关系是历年高考考查的重点内容之一，既有客观题，又有主观题其中客观题主要是空间线、面位置关系的判定如2012年重庆T9，陕西T5等主观题中往往作为其中一问来考查，如2012年陕西T18，安徽T18(1)等2.公理和定理一般不单独考查，而是作为解题过程中的推理依据.归纳知识整合1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内作用：可用来证明点、直线在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面作用：可用来确定一个平面；证明点线共面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点共线；判断或证明多线共点公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行作用：判断空间两条直线平行的依据探究1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？提示：不一定例如，“经过直线外一点有且只

2、有一条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补探究2.不相交的两条直线是异面直线吗？提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面3不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行3空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个 在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个自测牛刀小试1(教材习题改编)下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选C对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确

3、定三个平面，故正确；对于，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故错误2(教材习题改编)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A异面 B平行C相交 D以上都有可能解析：选D由直线、平面的位置关系分析可知两条直线相交、平行或异面都有可能3如果a，b，laA，lbB，那么下列关系成立的是()AlBlClADlB解析：选Aa，laA，A，Al，同理B，Bl，l.4若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_个部分解析：三个平面，两两相交，交线分别是a，b，c，且abc，则，把空间分成7部分答案：75如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_解析：连接B1D1，易证B1D1EF，从而D1B1C即为异面直线B1C与EF所成的角，连接D1C，则B1D1C为正三角形，故D1B1C60.答案：60平面的基本性质及应用例1以下四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的

4、四条线段必共面其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3自主解答正确，可以用反证法证明；不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内答案B由所给元素确定平面的方法判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面1下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析：中可证四边形PQRS为梯形；中，如图所示取A1A与BC的中点为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形中可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面答案：例2如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？自主解答(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得G

5、H綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四共点面本例条件不变，如何证明“FE、AB、DC共点”？证明：如图，取AD中点为M，连接GM，EG，CM.由条件知，EG綊AB，CM綊AB，所以EG綊CM，所以四边形EGMC为平行四边形，所以ECGM.又GM綊FD，EC綊FD，故E、C、D、F四点共面.延长FE、DC，设相交于点N，因为EF平面ABEF，所以N平面ABEF，同理可证，N平面ABCD，又因为平面ABEF平面ABCDAB，所以NAB.即FE、AB、DC三线共点.证明共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明：(1)连接EF，CD1，A1B.E

6、、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点.空间两条直线的位置关系例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行自主解答由于MN与平面DCC1D1相交于N点，D1C1平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线又因为C1D1A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线，故选项D错误答案D异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断(较为困难)；(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定

7、假设，肯定两条直线异面3已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为，则B、C、A、D.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾所以BC与AD是异面直线(2)如图，连接AC，BD，则EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，则EFGH为平行四边形又EG、FH是EFGH的对角线，所以EG与HF相交.异面直线所成的角例4(2013银川模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小自主解答(1)如图，连接AC、AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1与B1C所成角为60.(2)如图，连接BD，由AA1CC1，且AA1CC1可知A1ACC1是平行四边形，所

8、以ACA1C1.即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角因为EF是ABD的中位线，所以EFBD.又因为ACBD，所以EFAC，即所求角为90.求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤为：4已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角解：如图，设E为AC的中点，连接EM、EN.EM綊AB，EMN即为异面直线AB与MN所成的角(或补角)在MEN中，ME綊AB，EN綊CD.MEN为异面直线AB与CD所成的角(或补角)，且MEN为等腰三角形当MEN60时，EMN60，即异面直线AB和MN所成的角为60.当MEN120时，EMN30，即异面直线AB和MN所成的角为30.直线AB和MN所成的角为60或30.1个疑难点对异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线(3)异面直线的公垂线有且仅有一条2种方法求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法(2)补形法：即采用补形法作出平面角3个“共”问题“共面”、“共线”和“共

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