机器人技术及其应用第2版 张宪民第4章 机器人的动力学初步

1、,主编 张宪民,机器人技术及其应用,Theory and Application of Robotics,机器人的动力学初步,第四章,概 述,概 述,要了解机器人动力学， 也就是了解决定机器人动态特性的运动方程式，即机器人的动力学方程。它表示机器人各关节的关节变量对时间的一阶导数、二阶导数、各执行器驱动力或力矩之间的关系， 是机器人机械系统的运动方程。因此，机器人动力学就是研究机器人运动数学方程的建立，其实际动力学模型可以根据已知的物理定律（如牛顿或拉格朗日力学定律）求得。,概 述,机器人运动方程的求解可分为两种不同性质的问题： （）正动力学问题。即机器人各执行器的驱动力或力矩为已知，求解机器人关节变量在关节变量空间的轨迹或末端执行器在笛卡尔空间的轨迹，这称为机器人动力学方程的正面求解，简称为正动力学问题。 （）逆动力学问题。即机器人在关节变量空间的轨迹已确定，或末端执行器在笛卡尔空间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解机器人各执行器的驱动力或力矩，这称为机器人动力学方程的反面求解，简称为逆动力学问题。,概 述,不管是哪一种动力学问题都要研究机器人动力学的数学模型，区别在于问题的解法。人

2、们研究动力学的重要目的之一是对机器人的运动进行有效控制，以实现预期的运动轨迹。 常用的方法有牛顿.欧拉法、拉格朗日法、凯恩动力学法等。牛顿欧拉动力学法是利用牛顿力学的刚体力学知识导出逆动力学的递推计算公式，再由它归纳出机器人动力学的数学模型机器人的矩阵形式运动学方程；拉格朗日法是引入拉格朗日方程直接获得机器人动力学方程的解析公式，并可得到其递推计算方法。一般来说，拉格朗日法运算量最大，牛顿.欧拉法次之，凯恩动力学法运算量最小、效率最高，在处理闭链机构的机器人动力学方面有一定的优势。 在本章中只介绍牛顿.欧拉法、拉格朗日法两种方法，其他动力学方法请有兴趣的读者参考有关文献。,机器人的 静力学,机器人的静力学,在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不做功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所做功之和为零。这里所指的虚位移（virtual displacement） 是描述作为对象的系统力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际位移。为此用“虚” 一词来表示。而约束力

3、（force of constraint）是使系统动作受到制约的力。下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚功原理。,机器人的静力学,如图所示，已知作用在杠杆一端的力，试用虚功原理求作用于另一端的力。假设杠杆长度和已知。 按照虚功原理，杠杆两端受力所做的虚功应该是,式中， 、是杠杆两端的虚位移。而就虚位移来讲，下式成立 式中， 是绕杠杆支点的虚位移。 把式（）代入式（）消 、，可得到下式,图- 杠杆及作用在两端上的力,机器人的静力学,由于式（ ） 对任意的 都成立， 所以有下式成立,因此得到，可得到下式,当力向下取正值时，则为负值，由于的正方向定义为向上， 所以这时表明的方向是向下的，即此时和的方向都朝下。,机器人的静力学,现在利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。以图 所示的机械手为研究对象，要产生图 所示的虚位移，推导出图 所示各力之间的关系式。这一推导方法本身也适用于一般的情况。 假设：,图4 2 机械手的虚位移和施加的力,机器人的静力学,如果施加在机械手上的力作为手爪力的反力（用来表示）时，机械手的虚功可表示为,为此，如果应用虚功原理，则得到,这里，手爪的虚位移 和关节

4、的虚位移 之间的关系，用雅可比矩阵表示为,把式（-）代入式（-），提出公因数，可得到下式,机器人的静力学,图43 求生成手爪力 或的驱动力,由于这一公式对任意的 都成立，因此得到下式成立,进一步整理， 把式中第二项移到等式右边， 并取两边的转置， 则可得到下面的机械手静力学关系式,式（）表示了机械手在静止状态为产生手爪力的驱动力。,机器人的静力学,为了加深理解， 下面分别求解图所示的二自由度机械手在图示位置时，生成手爪力 （）或（ ） 的驱动力 或 。图示为 ， 时的姿态。,由关节角给出如下姿态,机器人的静力学,则由式（） 可以得到驱动力如下,从求解的结果看到，在这里驱动力的大小为手爪力的大小和手爪力到作用线距离的乘积。,机器人的静力学,动力学不仅与驱动力有关，还与绕质心的惯性矩有关。下面以一质点的运动为例，了解惯性矩的物理意义。 如图所示，若将力 作用到质量为 的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则可以表示为,图- 质点平移运动 作为回转运动的解析,式中， 表示加速度。若把这一运动看作是 质量可以忽略的棒长为 的回转运动， 则得到 加速度和力的关系式为,机器人的静力学,式中，

5、和 是绕轴回转的角加速度和力矩。将式（-）、式（-）代入式（-），得到,如果 ，则式（-） 就改写为,式（-）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式。与式（）比较，相当于平移运动时的质量，在旋转运动中称为惯性矩。,机器人的静力学,对于质量连续分布的物体， 求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小物体， 然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。这时， 微小物体的质量 及其微小体积 的关系， 可用密度 表示为,所以， 微小物体的惯性矩， 依据 ， 可以写成,因此， 整个物体的惯性矩通过积分求得如下,详细推导与求解请查看相关的参考文献。,机器人的静力学,如图 所示， 在机器人的手爪接触环境时， 手爪力 与驱动力 的关系起重要作用， 在静止状态下处理这种关系称为静力学（statics）。,图 手爪力与 关节驱动力,在考虑控制时， 就要考虑在机器人的动作中， 关节驱动力 会产生怎样的关节位置、关节速度 和关节加速度 ， 处理这种关系称为动力学（dynamics）。对于动力学来说， 除了与连杆长度有关之外， 还与各连杆的质量 ， 绕质量中心的惯性矩 ， 连杆的质量中心与关节轴的距离 有关，如图-

6、所示。,机器人的静力学,运动学、静力学和动力学中各变量的关系如图所示。图中用虚线表示的关系可通过实线关系的组合表示， 这些也可作为动力学的问题来处理。,图- 与动力学有关的各量,图 运动学、静力学、 动力学的关系,机器人动力学方程式,机器人动力学方程式,为了导出多关节机器人的运动方程式，首先要了解机器人的动能和位能。先看图所示的第 i个连杆的运动能量。刚体的运动能量， 是由该刚体平移构成的运动能量与该刚体旋转构成的运动能量之和表示的。因此，图 中表示的连杆的运动能量， 可以用下式表示：,1. 动 能,图-8 第 个连杆的旋转速度和重心的平移速度,机器人动力学方程式,式中， 为连杆 的运动能量； 为质量； 为在基准坐标系上 表示的重心的平移速度矢量； 为在基准坐标系上表示的连杆 的惯性矩； 为在基准坐标系上表示的转动速度矢量。因为机器人的全部运动能量为， 由各连杆的运动能量的总和表示， 所以得到,机器人动力学方程式,式中， 为机器人的关节总数。其次我们来考虑把 作为机器人各关节速度的函数。这里与 分别表示为,式中， 是与第 个连杆重心的平移速度相关的雅可比矩阵； 是与第 个连杆转动速度相

7、关的雅可比矩阵。为了区别于与指尖速度相关的雅可比矩 阵， 在上面标明了注角（）。,机器人动力学方程式,矩阵 和 可以分别表示成以下的结构：,在式（-） 和式（-） 中， 包含着 分量， 这是因为第 个连杆的运动与其以后的关节运动是无关的。现在将式（-） 和式（-） 代入式（-） 和式（-）， 机器人的运动能量公式可以写成,机器人动力学方程式,令,则机器人的运动能量式（） 可写为,这里表示的 称为机器人的惯性矩阵。,机器人动力学方程式,机器人的位置能量和运动能量一样， 也是由各连杆的位置能量的总和给出的， 因此可用下式表示,2. 位 能,式中， 为重力加速度， 它是一个在基准坐标系上表示的三维矢量； ， c i 为从基准坐标系原点， 到 个连杆重心位置的位置矢量。,机器人动力学方程式,首先， 以单一刚体为例， 如图 所示， 其运动方程式可用下式表示,1. 牛顿欧拉运动方程式,图 单一刚体,机器人动力学方程式,式（）和式（）分别被称为牛顿运动方程式及欧拉运动方程式。式中，是刚体的质量；是绕重心 的惯性矩阵， 的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的惯性矩；是作用于重心的平动力；是作用在

8、刚体上的力矩；是重心的平移速度； 是角速度。,机器人动力学方程式,下面求解图 所示的一自由度机械手的运动方程式。在此， 由于关节轴制约连杆的运动，所以可将式（）的运动方程式看作是绕固定轴的运动。假设绕关节轴的惯性矩为，取垂直纸面的方向为轴，则得到,图 一自由度机械手,机器人动力学方程式,式中， 是重力加速度； 是在第行第列上具有绕关节轴惯 性矩的惯性矩阵。将式（-）和式（-）代入式（-），提 取只有分量的回转，则得到,机器人动力学方程式,式（） 为一自由度机械手的欧拉运动方程式， 其中：,式中， 为惯性矩阵 中绕关节轴 的惯性矩。,对于一般形状的连杆， 在式（-） 中， 由于 除第 分量以外其他分量皆不为，所以 的第、 分量成了改变轴方向的力矩， 但在固定轴的场合，与这个力矩平衡的约束力生成式（-）的第、 分量， 不产生运动。,机器人动力学方程式,拉格朗日运动方程式一般表示为,2. 拉格朗日运动方程式,式中， 是广义坐标； 是广义力。,拉格朗日运动方程式也可以表示为,式中， 是拉格朗日算子； 是动能； 是势能。,机器人动力学方程式,现在再以前面推导的一自由度机械手为例，利用拉格朗日运动方程式来具体求解，假设 为广义坐标，则得到,由于,所以用 置换式（-） 中的广义坐标后，可得到下式,该式与前面推导的结果完全一致。,机器人动力学方程式,下面推导二自由度机械手的运动方程式， 如图 所示。在推导时， 把、 当作广义坐标， 、 当作广义力， 求拉格朗日算子， 代入式（） 的拉格朗日运动方程式即可。,式中， （ ） 是第个连杆质量中心的位置矢量。,图1 二自由度机械手,机器人动力学方程式,根据理论力学的知识， 各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕质量中心回转运动的动能之和来表示。,由式（-） 式（-）， 得到式（-）、式（-） 中的质量中心速度和为。,机器人动力学方程式,利用式（） 式（） 和式（）、式（）， 通过下式,可求出拉格朗日算子。将它代入式（） 的拉格朗日运动方程式， 整理后可得到,式中，,机器人动力学方程式,（） 是惯性力； （， ） 是离心力； （）是加在机械手上的重力项， 是重力加速度。,机器人动力学方程式,对多于 个自由度的机械手，也可用同样的方法推

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