机器人技术及其应用第2版 张宪民第3章 机器人运动学

1、,主编 张宪民,机器人技术及其应用,Theory and Application of Robotics,机器人运动学,第三章,概 述,概述,机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行分析研究， 而不考虑引起这些运动的力和力矩。 也就是要把机器人的空间位移解析地表示为时间的函数， 特别是要研究关节变量和机器人末端执行器位置与姿态 （位姿） 之间的关系。 机器人的运动学可用一个开环关节链来建模， 此链由数个刚体 （杆件） 用转动或移动关节串联而成。 开环关节链的一端固定在基座上， 另一端是自由的， 安装着工具， 用以操作物体或完成装配作业。 关节的相对运动促使杆件运动， 使手到达所需的位置和姿态。 在很多机器人应用问题中， 人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标系的空间描述。,概述,常见的机器人运动学问题可归纳如下： ） 对一给定的机器人， 已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。 ） 已知机器人杆件的几何参数， 给定机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位姿， 机器人能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？ 如能达到，

2、 那么机器人有几种不同形态可满足同样的条件？,概述,第一个问题常称为运动学正问题 （直接问题）， 第二个问题常称为运动学逆问题 （解臂形问题）。 这两个问题是机器人运动学中的基本问题。 由于机器人手臂的独立变量是关节变量， 但作业通常是用参考坐标系来描述的， 所以常碰到的是第二个问题， 即机器人逆向运动学问题。 年 和 提出了一种采用矩阵代数的系统而广义的方法， 来描述机器人手臂杆件相对于固定参考坐标系的空间几何。 这种方法使用 齐次变换矩阵来描述两个相邻的机械刚性构件间的空间关系， 把正向运动学问题简化为寻求等价的 齐次变换矩阵， 此矩阵把手部坐标系的空间变化与参考坐标系联系起来。并且该矩阵还可用于推导手臂运动的动力学方程。 而逆向运动学问题则可采用几种方法来求解， 最常用的是矩阵代数、 迭代和几何方法。,机器人运动学的基本问题,机器人运动学的基本问题,为了使问题简单易懂， 先以二自由度的机器人手爪为例来说明。 图 所示为二自由度机器人手部的连杆机构。 由于其运动主要由连杆机构来决定， 所以在进行机器人运动学分析时， 大多数是把驱动器及减速器的元件去除后来进行分析的。,图3-1 二自

3、由度机械手的正运动学,机器人运动学的基本问题,图 中的连杆机构是两杆件通过转动副连接的关节结构， 通过确定连杆长度 、 以及关节角 、， 可以定义该连杆机构。 在分析机器人末端手爪的运动时， 若把作业看作主要依靠机器人手爪来实现的，则应考虑手爪的位置 （图中点 的位置）。 一般场合中， 手爪姿势也表示手指位置。 从几何学的观点来处理这个手爪位置与关节变量的关系称为运动学 （ ）。,图3-1二自由度机械手的正运动学,机器人运动学的基本问题,引入矢量分别表示手爪位置 和关节变量， 即,因此， 可以利用上述两个矢量来描述图 所示的二自由度机器人的运动学问题。 手爪位置 在 ， 轴上的分量， 按几何学可表示为,用矢量表示这个关系式， 其一般可表示为,式中， 表示矢量函数。 已知机器人的关节变量 ， 求其手爪位置 的运动学问题称为正运动学 （ ）。 式 （ ） 称为运动方程式。,机器人运动学的基本问题,如果给定机器人的手爪位置 ， 求能够到达这个预定位置的机器人关节变量 的运动学问题称为逆运动学 （ ）。 其运动方程式可以通过以下分析得到。 如图 所示， 根据图中描述的几何学关系， 可得,二自由

4、度机械手的逆运动学,机器人运动学的基本问题,式中,同样， 如果用矢量表示上述关系式， 其一般可表示为,机器人运动学的基本问题,如图 所示， 机器人到达给定的手爪位置 时有两个姿态满足要求， 即图中的 也是其解。 这时 和 变成为另外的值。 即逆运动学的解不是唯一的， 可以有多个解。,图3-2 二自由度机械手的逆运动学,机器人运动学的基本问题,上述的正运动学、 逆运动学统称为运动学。 将式 （） 的两边微分即可得到机器人手爪速度和关节速度的关系， 再进一步进行微分将得到加速度之间的关系， 处理这些关系也是机器人的运动学问题。,机器人运动学的基本问题,以手爪位置与关节变量之间的关系为例， 要想正确表示机器人的手爪位置和姿态，首先要建立坐标系。 如图 所示， 分别定义了固定机器人基座和手爪的坐标系， 这样才能很好地描述它们之间的关系。 下面就先说明一下这种坐标系。,.表示方法,图3-3 基准坐标系和手爪坐标系,机器人运动学的基本问题,如图 所 示， 图 中 的 坐 标 系 分 别称为： ： 基准坐标系 （， 固定在基座上） ： 手爪坐标系 （， 固定在手爪上）， 手爪的位置和姿态可分别表示为

5、 ： 由 指向 的位置矢量； ： 由 看 姿态的姿态变换矩阵 （旋转变换矩阵）。,图3-3 基准坐标系和手爪坐标系,机器人运动学的基本问题,这里左上标表示描述的坐标， 表示 是 行 列的矩阵 （在 的特殊情况下， 表示列矢量）。 假设坐标系 中各轴方向的单位矢量， 在坐标系 中描述为、， 若用这些单位矢量来表示，则可表示为,机器人运动学的基本问题,如图 所示， 给出原点重合的两坐标系 （ ） 和 （ ）， 以及点 的位置矢量 。 假设点 的位置矢量 的分量在两坐标系中分别表示为,.姿态的变换矩阵,图3-4 点 在两个坐标系中 的位置矢量分量,机器人运动学的基本问题,下面计算从 向 的变换， 假设已知在坐标系 中描述的坐标系 的坐标 轴和 轴方向的单位矢量为 和， 则通过矢量的运算分析， 可得到如下关系式,式中的右上标 表示转置， 将上述两式合并为下式,机器人运动学的基本问题,式中,是从 坐标系向 坐标系进行位置矢量姿态变换的矩阵， 称为姿态变换矩阵 （或旋转变换矩阵）。,机器人运动学的基本问题,姿态变换矩阵可以表示为下面的正交矩阵 （即具有 性质的矩阵）。 首先，依据单位矢量分量 、

6、的性质可知,所以， 下面的等式成立,因而由式 （ ） 和式 （ ） 可得,机器人运动学的基本问题,因此， 如把由 坐标系向 坐标系进行位置矢量姿态变换的矩阵 定义为,则由式 （ ）、 式 （ ） 和式 （ ） 可得,如果以三维空间作为研究对象， 也可以证明上述的结论是成立的。 因此， 可以看出式 （ ） 的 ( ) 是位置矢量由 向 变换的姿态变换矩阵 （旋转变换矩阵）。,机器人运动学的基本问题,为了加深印象， 现在分析如图 所示坐标系， 它是将 围绕 轴沿正方向（面向 轴正方向往右旋转） 旋转 角后构成的坐标系。这时， 在坐标系- 中， 考虑 轴的正方向上距原点仅为的点， 因为 ， ， 成立， 所以当用矢量 表示它时， 可以写成,图3-5 两个坐标系的旋转坐标变换,机器人运动学的基本问题,另外， 当这同一点在 上表示时，有 ， ， ， 若用矢量 表示它时， 可以写成,机器人运动学的基本问题,因此， 在坐标系 上表示的坐标， 与在将坐标系 绕 轴沿正方向旋转 角后得到的坐标系 上表示的坐标 之间， 存在下列关系式,机器人运动学的基本问题,根据式（） 可得从坐标系 向坐标系 变换的坐标变

7、换矩阵为,机器人运动学的基本问题,因为上述变换是把某一坐标系上表示的坐标， 表示到另一坐标系中， 因此有时也称它为坐标变换。在该例子中是从坐标系 向坐标系 的坐标变换， 由于坐标系 是坐标系 围绕 轴旋转 角后构成的坐标系， 则该坐标变换矩阵也可用 （） 来表示,机器人运动学的基本问题,同理， 上述例子中， 当考虑围绕着 轴旋转时（设其旋转量为）， 可得到如下关系式,机器人运动学的基本问题,另外， 当围绕着 轴旋转时（设其旋转量为）， 可表示为如下关系式,机器人运动学的基本问题,可以验证 （）、 （）、 （） 均满足,式中， 表示、 中的任何一个。所以有下列等式成立,在分析机器人运动时， 当只用围绕一个轴旋转不能表示时， 可以通过围绕几个轴同时旋转的组合方式进行表示。,机器人运动学的基本问题,前面讨论了机器人在进行旋转运动时的坐标变换，一般来说， 机器人的运动不仅是旋转运动， 有时要做平行移动， 或以上两种运动的合成， 因此也应考虑平移运动时的坐标变换， 即齐次变换。,.齐次变换,机器人运动学的基本问题,现在来看图 所示的两个坐标系 和 。在图中， 坐标系 是将坐标系 单独地平行移动

8、后（从 上观察）， 再进行适当地旋转后得到的坐标系。这时， 某一点 在坐标系 和 上的坐标分别为、。可以认为， 是由 进行旋转变换后， 即乘以旋转坐标变换， 再加上平移矢量 而得到的， 因此可写出下列表达式,图3-6 两个坐标系的平移坐标变换,机器人运动学的基本问题,如果将、 写成如下扩充形式,机器人运动学的基本问题,则式（） 也可扩充写成下式,机器人运动学的基本问题,即可得,式中， 。,机器人运动学的基本问题,这样， 因旋转而进行的坐标变换， 与因平移而进行的坐标变换， 就可以同时用一个坐标变换矩阵来表示， 记为。因此， 就称这个矩阵 为齐次坐标变换矩阵， 或简称为坐标变换矩阵。为了标明该坐标变换是从 向 方向进行的， 可以将矩阵 写成 。,机器人运动学的基本问题,机器人可以看作是由刚体通过关节连接而成的一个运动链， 这些刚体一般被称为连杆。给机器人的每一连杆建立一个坐标系， 通过齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置和姿态就可以获得末端执行器相对于基准坐标系的齐次变换矩阵， 即获得机器人的运动方程。,机器人运动学的基本问题,机器人是由一系列连接在一起的连杆构成的， 连杆之间通常由仅具有一个自由度的关节连接在一起。从机器人的固定基座开始为连杆进行编号， 可以称固定基座为连杆，第一个可动连杆为连杆， 以此类推， 机器人最末端的连杆为连杆。为了确定机器人末端执行器在空间中的位置和姿态， 机器人至少需要 个关节（即对应 个自由度）。,. 连杆连接的描述,机器人运动学的基本问题,在描述一个连杆的运动时， 一个连杆的运动可以用两个参数描述， 即连杆长度和连杆转角。连杆长度用来描述两相邻关节轴公垂线的长度， 连杆转角用来描述两相邻关节轴轴线之间

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