09级课堂练习题
7页1、例题1:下列波函数中,哪些与描述同一状态?,例题2:设,为常数,求归一化常数A。解: (用高斯积分),取,则。例题3:设,求粒子的位置几率的分布,此波函数能否归一化?解:,即空间中任何位置发现几率相同都为1,且,故不能归一化,事实上例题4:设粒子波函数为,求在范围中找到粒子的几率。解:在范围内发现粒子的几率为,若只计范围内,不计y,z范围,发现粒子的几率,由概率论知识,上式应对随机变量y,z积分 。例题5:设用球坐标表示,粒子波函数表为, 求(1)粒子在球壳中被测到的几率,(2)在方向的立体角元中找到的粒子的几率。解:为在范围内发现粒子的几率。(1)只计范围内的几率,上式对积分(2)在方向的立体角元中找到的粒子的几率为例题6:束缚态、非束缚态及相应能级的特点。解:束缚态 粒子在一定范围内运动,时,波函数趋于0,能级分立; 非束缚态 粒子的运动范围无限制,时,波函不数趋于0,能级连续分布。例题7:设粒子处于无限深势阱中,证明处于定态的粒子,。证明:处于该势阱中的粒子的波函数为例题8:设粒子处于二维无限深势阱中求粒子的能量本征值和本征波函数。如果,能量的简并度如何?解:哈密顿算符为,;,设
2、波函数为,带入定态薛定谔方程,分离变量后有方程(1)的解为,;方程(2)的解为,粒子的总能量为粒子的波函数为。若,令且简并度为。例题9:各种不同区间的无限深势阱(1)(周世勋课本例题)一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:本征值为本征函数为(2)(周世勋课后习题2.3)一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:无关,是定态问题。其定态S方程:在各区域的具体形式为:由于、方程中,由于,要等式成立,必须,即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程可变为令,得其解为根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得由归一化条件得由 因为,所以,可见E是量子化的。对应于的归一化的定态波函数为(3)一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:本征值为本征函数为(4)一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:本征值为本征函数为例题10:求三维谐振子能级,并讨论它的简并情况。解:三维谐振子哈密顿量为本征方程及其能量本征量方程的解为其中,当N确定后,能量本征值也确定,但对应同一N值,有多种不同组合,相应于若干个不同量子状态,这就是简并。对于的组合方式数列表如下组合方式(组)00,1,2,3,NN+110,1,2,3,N-1N20,1,2,3,N-2N-1N01,确定了,也确定了,不再增加不同组合的组数。组合数即为简并度。s维各向同性谐振子能量为,简并度为例题11:荷电的谐振子,受到沿方向外电场的作用,其势场为求能量本征值和本征函数。解:思路:是在谐振子势上叠加项,该项是的一次项,二振子势是二次项。可以把势场重新整理成坐标变量平方形式,就有可能利用已知的一维线性谐振子的结果。改写进行坐标变换,所以哈密顿量为新的薛定谔方程为,用已知结果得
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