八年级一次函数【经典例题剖析】(外加压轴题)
15页1、第十一章 一次函数复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如:y=2x+3,y=-x+2,y=x等都是一次函数,y=x,y=-x都是正比例函数.【说明】 (1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,b0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.(3)当b=0,k0时,y= kx仍是一次函数.(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b
2、由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(-,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.知识点4 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的性质(1)k的正负决定直线的倾斜方向;k0时,y的值随x值的增大而增大;kO时,y的值随x值的增大而减小(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;当b0时,直线与y轴交于正半轴上;当b0时,直线与y轴交于负半轴上;当b=0时,直线经过原点,是正比例函数(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;如图1118(l)所示,当k0,b0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);如图1118(2)所示,当k0,bO时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);如图1118(3)所示,当kO,b0时,直线经过第一、二、
3、四象限(直线不经过第三象限);如图1118(4)所示,当kO,bO时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限)(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的另外,从平移的角度也可以分析,例如:直线y=x1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的知识点3 正比例函数y=kx(k0)的性质(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;(2)当k0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;(3)当k0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小知识点4 点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上例如:点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P(2,1)不在直线y=x+l的图象上知识
4、点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数y=kx(k0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值(2)由于一次函数y=kx+b(k0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值知识点6 待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如:函数y=kx+b中,k,b就是待定系数知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤(1)设函数表达式为y=kx+b;(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);(3)求出k与b的值,得到函数表达式例如:已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式解:设一次函数的关系式为ykx+b(k0),由题意可知,解此函数的关系式为y=【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,其中k,b是未知的常量,且
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