随机前沿分析

1、随机边界分析,Stochastic Frontier Analysis,目录,第一章 导言 1.1 随机前沿方法简介 1.2 发展史简要回顾 第二章 分析基础 2.1 生产技术 2.2 技术有效性 2.3 经济有效性,第三章 技术有效性估计 3.1 横截面生产边界模型 3.1.1 确定性生产边界 3.1.1.1 目标规划法 3.1.1.2 修正最小二乘法（COLS） 3.1.1.3 修正最小二乘法（MOLS） 3.1.2 随机生产边界 3.1.2.1 正态半正态模型 3.1.2.2 正态指数模型 3.1.2.3 正态半正态模型的距估计,3.2 面板数据生产边界模型 3.2.1 非时变的技术有效性 3.2.2 时变的技术有效性 第四章 对生产率和效率变化的度量 第五章 与其他方法的比较,一、导言,在经济学中，技术效率的概念应用广泛。Koopmans首先提出了技术效率的概念，他将技术有效定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。Farrell首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认

2、同，成为了效率测度的基础 。,1.1 随机前言方法简介,生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点，是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个问题。,前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映了在具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。 传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之 间的关系, 称之为平均生产函数。但是1957 年, Farrell 在 研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数 (Frontier Prodution Function)的概念。对既定的投入因素进行最佳组合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经济学中所说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。前沿面是一个理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。,前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参方法。两 者都可以用来测量效率水平

3、。参数方法沿袭了传统生产函 数的估计思想, 主要运用最小二乘法或极大似然估计法（解释）进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算; 而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出, 或以最小的投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合DEA(Data 数据包络分析) 来进计算的。,但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要 运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统 计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外, 非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得不舍 弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。 因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数 的计算。 在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项的 确立, 又分为随机性和确定性两种方法。首先, 确 定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响, 直接,直接采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前 沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差 统归入单侧的一个误差项中, 并将其称为

4、生产非 效率; 随机前沿生产函数( Stochastic Frontier ProductionFunction)在确定性生产函数的基础上提 出了具有复合扰动项的随机边界模型。其主要思想 为随机扰动项应由v 和u 组成, 其中v 是随机误差 项, 是企业不能控制的影响因素, 具有随机性, 用以 计算系统非效率; u是技术损失误差项, 是企业可以 控制的影响因素, 可用来计算技术非效率。很明显, 参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性, 也反映了样本计算的真实性。,1.2 发展史简要回顾 20世纪20年代，美国经济学家道格拉斯（PDouglas）与数学家柯布（CCobb）合作提出了生产函数理论，开始了生产率在经济增长中作用的定量研究。称其为技术进步率，这些未被解释部分归为技术进步的结果，称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称为“增长余值”（或“索洛值”），也即为全要素生产率（TFP）的增长率。 1977年，Aigner，Lovell，Schmidt和Meeusen，Van den Broeck分别独立提出了随 机前沿生产函数，之后逐渐发展起来的随机前沿 生产函数法则允许技术无效

5、率的存在，并将全要,素生产率的变化分解为生产可能性边界的移动和 技术效率的变化，这种方法比传统的生产函数法 更接近于生产和经济增长的实际情况。能够将影 响TFP的因素从TFP的变化率中分离出来，从而 更加深入地研究经济增长的根源。 利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer （1990）、Kalirajan（1993）.Batese和Coelli 1988，1992，1995）等对技术效率对TFP和 产出的影响做了大量的实证研究。,第二章 分析基础,生产有效性：生产者为了达到一定的生产目标，在分配他们可支配的投入和生产的产出时所实现的成功度。 初级层面：给定投入，产出最大 OR 给定产出,投入最小，生产有效性与技术有效性一致（解释1） 更深层面：给定产出，成本最小 OR 给定投入，收入最大 OR 投入产出配置使利润最大，生产有效性与经济有效性一致（解释2）,本章框架： 生产技术,技术有效性 经济有效性,2.1 生产技术 生产技术曲线GR=(y,x):x能生产y描述了一组可行的投入-产出向量 生产技术的投入组合L(

6、y)=x:(y,x) GR描述了对对于每个产出向量y的投入向量组合 生产技术的产出组合P(x)=y:(y,x) GR描述了对于每个投入向量的可行产出向量组合 投入等量曲线IsoqL(y)=x:x L(y),ax L(y),a1 描述了能够生产每一产出向量y的投入向量集合，而实现当投入集合呈径向收缩时，则无法实现y产出量,投入有效性子集EffL(y)=x:x L(y),x xx L(y) 描述了能够生产每一产出向量y的投入向量集合，而当其在任一维度上收缩时，则无法实现y产出量 产出等量曲线IsoqP(x)=y:y P(x),ay P(x),a1描述了每一投入向量x所生产的所有产出向量集合，而当其径向扩张时，就不能由投入向量x来生产 产出有效性子集EffP(x)=y:y P(x),y yy P(x) 描述了每一投入向量x所生产的所有产出向量集合，而当其在任一维度上扩张时，就不能由投入向量x来生产,对比几组概念：,关于产出的类似,2.2 技术有效性 定义：当且尽当（y,x） GR,在（y,-x） (y,x) 时，产出-投入向量（y,x） GR为技术有效 投入导向型技术有效性是由函数TEi(y

7、,x)=min : x L(y)来测量的 产出导向型技术有效性是由函数TEo(x,y)=max : y P(x)-1来测量的,2.3 经济有效性 成本有效性：CE(y,x,w)=C(y,w)/wTx 收入有效性：RE(x,y,p)=pTy/r(x,p) 利润有效性： EA(y,x,p,w)=(pTy-wTx)/ (p,w),第三章 技术有效性估计,本章框架：,3.1.1确定性生产边界,测算全要素生产率的传统方法是索洛余 值法(SRA) ,其关键是假定所有生产者都能实 现最优的生产效率,从而将产出增长中要素投 入贡献以外的部分全部归结为技术进步 ( technologicalprogress) 的结果,这部分索洛 剩余后来被称为全要素生产率(李京文等 1998) 。然而,SRA 法的理论假设不完全符合 现实,因为现实经济中大部分生产者不能达到,投入产出关系的技术边界(Farrell ,1957) 。基于这一思 想,Aigner 和Chu (1968) 提出了前沿生产函数模型,将生产者效率分解为技术前(technological frontier) 和技术效(technical effic

8、iency) 两个部分,前者刻画所有生产者投入产出函数的边界(frontier of the production function) ;后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。 确定性前沿生产函数模型如下：,其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之间，反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计其参数，如下所述。 假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的投入向量 来生产出单一产出 ，生产函数采用C-D形式： （1）,(1)式中 是产出的自然对数； 是K+1维行向量，其中一个元素是1，其余K个元素K种投入数量的自然对数. 是待估计的K+1维列向量； 是非负的随机变量，用来度量技术的有效性： （2）,是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1之间，它是观察到的产出 与使用同样投入并且由技术有效的公司生产的 之比，参数 由下述方程得出。 1.目标规划方法 （3）,它等价于： （4）,参数 也可以由下列二次规划问题计算得出： （5） 上述目标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是估计的，无统计解释。如果假设 服从指数分布，,则

9、线性规划“估计”就是最大似然估计：,如果假设 服从正态分布，则二次规划“估计”就是最大似然估计： 其中C代表常数,上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基础，但这些计算的参数 仍然像估计的参数那样有标准差。 2.修正最小二乘法（COLS） 它分为两步： 第一步，先用OLS估计（1）式：,得到 一致和无偏的 斜率参数 ，以及一致和有偏的截面参数 。 第二步，有偏的截距参数 被向上修正以保证估计的前沿是所有数据的上界： ,COLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产结构。,3.1.2随机生产边界,由于确定性前沿生产函数没有考虑到产活动中存在的随机现象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,van den Broeck (MB)同时于1977年引进了随机前沿生产函数 （1）,其中v代表影响生产活动的随机因素，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，具有0均值和不变方差； 代表随机前沿生产函数；u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于 。 假设生产函数取C-D形式： （2） 在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法 （ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数 和误差项 ，进而得到技术效率 ，如下所述。,1.正态半正态模型的ML估计 假设： （1） （2） （3） 和 的分布相互独立，且与解释变量相互独立。 u ,v的密度函数以及u 和v的联合密度函数， u和 的联合密度函数分别是:,是标准正态分布函数 （3） 于是可给出参数 、 、 的ML估 计，从而得

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