随机变量(向量)及其概率分布
105页1、勤学好问必有所获,第二章 随机变量(向量)及其概率分布,随机变量与随机变量分布函数,随机变量的概率函数与随机变量的概率密度函数,几个常用的概率分布,随机向量与随机向量的分布函数,随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数,边际分布与条件分布,随机变量的独立性,随机变量函数的分布,概率论,随机变量与随机变量分布函数 一、随机变量 为了更有效地研究随机现象的规律,需要引入微积分作为工具,这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子 例2.1 某人抛掷一枚色子,观察出现的点数。 试验结果的事件表达形式: 出现1点;出现2点;出现3点; 出现4点;出现5点;出现6点。 如果令 表示出现的点数,则 的可能取值为 于是,试验结果的变量表示为: “出现1点” ; “出现2点” “出现3点” ; “出现4点” “出现5点” ; “出现6点” 例2.2 某人掷硬币试验,观察落地以后出现在上面的面。 试验结果的事件表达形式:,Random Variable,国徽面在上面;有字面在上面 如果 表示国徽面在上面, 表示有字面在上面。 则试验结果的变量表示为: “国徽面在上面” ;“有字面在
2、上面” 特点:试验结果数量化了,试验结果与数建立了对应关系。 1. Def 设随机试验 的样本空间为 ,如果对于每一个样本点 ,均有唯一的实数 与之对应,称 为样本空间 上的随机变量。 随机变量的三个特征: 1)它是一个变量; 2)它的取值随试验结果而改变; 3)随机变量在某一范围内取值,表示一个随机事件。 设 为一个随机变量,对于任意实数 ,则集合 是随机事件,随着 变化,事件 也会变化。 这说明该事件是实变量 的“函数”。,2. 随机变量举例与分类 随机变量实例: 例2.3 某人抛掷一枚骰子,观察出现的点数 。 的可能取值为 。 例2.4 某个灯泡的使用寿命 。 的可能取值为 。 例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数 。 的可能取值为 。 例2.6 在 区间上随机移动的点,该点的坐标 。 的可能取值为 。,有限或无穷可列取值,无穷且不可列取值,二、分布函数 1. 随机变量的概率分布 Def 能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律,简称概率分布。 概率分布的常用表达方式有: 分布函数(“通用型”); 概率函数或概率密度函数(“针对型”)。 2. 分布函数
3、概念 Def 设 为随机变量, 为任意实数,则 称为随机变量 的分布函数,其定义域为 。 显然,分布函数是一个特殊的随机事件的概率。 3. 分布函数的性质 (1)对于任意 有 (非负有界性); (2) (规范性); (3)对于任意 有 (单调性); (4) 在每一点至少是右连续的(连续性)。,是一个实函数!,Distribution Function,若已知随机变量 的分布函数 ,则对于任意 有 例2.7 已知随机变量 的所有可能取值为 ,取各值的概率分别为 ,试求随机变量的分布函数并作其图像。 解:由题设随机变量的概率分布为 由分布函数的定义有 当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, 。 分布函数图像如图2.1所示,图2.1,概率函数与概率密度函数 一、随机变量的概率函数 1. 离散型随机变量 Def 如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列,则该随机变量称为离散型随机变量。 设离散型随机变量 的所有可能取值是 ,而取值 的概率为 ,即有 则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下列表达: 并称其为随机变量 的概率分布列,简称分布列。 注意:离散型随机变量的概率分布除用
4、分布函数可以表示以外,还可以利用概率函数或分布列表示,概率函数与分布列是等效的,概率函数比分布列表示更直观、简便。,2. 概率函数或分布列的性质 (1) ;(2) (归一性)。 3. 概率函数与分布函数的关系 已知概率函数求分布函数 已知分布函数求概率函数 例2.8 设 的分布列为 试求 。 解:由随机变量 的分布列有,例2.9 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中任意抽取2件,用 表示抽取出2件产品中的次品数,求随机变量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。 解: 的可能取值为 。 于是,由古典概率有 所以, 的分布列为,例2.10 一名士兵向一目标连续射击,直至其击中目标为止。假定该士兵命中率为 ,而且任意两次射击之间互不影响,用 表示该名士兵射击次数。求 的概率分布。 解: 的可能取值为 ; 设 表示该名士兵第 次击中目标, 。 于是有 相互独立; 。 所以 即 的概率函数为 注意:这种类型的随机变量取值愈大,概率值愈小,是典型的不等概分布。当 时, 取1的概率最大。,例2.11 设随机变量 的概率函数为 试求(1)常数 的值;(2)概率最大的 取值。 解: (1) 由概率函
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