随机变量(向量)及其概率分布

1、勤学好问必有所获,第二章 随机变量（向量）及其概率分布,随机变量与随机变量分布函数,随机变量的概率函数与随机变量的概率密度函数,几个常用的概率分布,随机向量与随机向量的分布函数,随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数,边际分布与条件分布,随机变量的独立性,随机变量函数的分布,概率论,随机变量与随机变量分布函数 一、随机变量 为了更有效地研究随机现象的规律，需要引入微积分作为工具，这就需要用变量的形式来表达随机现象。先考察下列两个随机试验的例子 例2.1 某人抛掷一枚色子，观察出现的点数。 试验结果的事件表达形式： 出现1点；出现2点；出现3点； 出现4点；出现5点；出现6点。 如果令 表示出现的点数，则 的可能取值为 于是，试验结果的变量表示为： “出现1点” ； “出现2点” “出现3点” ； “出现4点” “出现5点” ； “出现6点” 例2.2 某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。 试验结果的事件表达形式：,Random Variable,国徽面在上面；有字面在上面 如果 表示国徽面在上面， 表示有字面在上面。 则试验结果的变量表示为： “国徽面在上面” ；“有字面在

2、上面” 特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系。 1. Def 设随机试验 的样本空间为 ，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间 上的随机变量。 随机变量的三个特征: 1）它是一个变量； 2）它的取值随试验结果而改变； 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。 设 为一个随机变量，对于任意实数 ，则集合 是随机事件，随着 变化，事件 也会变化。 这说明该事件是实变量 的“函数”。,2. 随机变量举例与分类 随机变量实例： 例2.3 某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数 。 的可能取值为 。 例2.4 某个灯泡的使用寿命 。 的可能取值为 。 例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数 。 的可能取值为 。 例2.6 在 区间上随机移动的点，该点的坐标 。 的可能取值为 。,有限或无穷可列取值,无穷且不可列取值,二、分布函数 1. 随机变量的概率分布 Def 能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。 概率分布的常用表达方式有： 分布函数（“通用型”）； 概率函数或概率密度函数（“针对型”）。 2. 分布函数

3、概念 Def 设 为随机变量， 为任意实数，则 称为随机变量 的分布函数，其定义域为 。 显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。 3. 分布函数的性质 （1）对于任意 有 （非负有界性）； （2） （规范性）； （3）对于任意 有 （单调性）； （4） 在每一点至少是右连续的（连续性）。,是一个实函数！,Distribution Function,若已知随机变量 的分布函数 ，则对于任意 有 例2.7 已知随机变量 的所有可能取值为 ，取各值的概率分别为 ，试求随机变量的分布函数并作其图像。 解：由题设随机变量的概率分布为 由分布函数的定义有 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 。 分布函数图像如图2.1所示,图2.1,概率函数与概率密度函数 一、随机变量的概率函数 1. 离散型随机变量 Def 如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变量称为离散型随机变量。 设离散型随机变量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率为 ，即有 则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下列表达： 并称其为随机变量 的概率分布列，简称分布列。 注意：离散型随机变量的概率分布除用

4、分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列表示，概率函数与分布列是等效的，概率函数比分布列表示更直观、简便。,2. 概率函数或分布列的性质 （1） ；（2） （归一性）。 3. 概率函数与分布函数的关系 已知概率函数求分布函数 已知分布函数求概率函数 例2.8 设 的分布列为 试求 。 解：由随机变量 的分布列有,例2.9 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，用 表示抽取出2件产品中的次品数，求随机变量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。 解： 的可能取值为 。 于是，由古典概率有 所以， 的分布列为,例2.10 一名士兵向一目标连续射击，直至其击中目标为止。假定该士兵命中率为 ，而且任意两次射击之间互不影响，用 表示该名士兵射击次数。求 的概率分布。 解： 的可能取值为 ； 设 表示该名士兵第 次击中目标， 。 于是有 相互独立； 。 所以 即 的概率函数为 注意：这种类型的随机变量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。当 时， 取1的概率最大。,例2.11 设随机变量 的概率函数为 试求（1）常数 的值；（2）概率最大的 取值。 解: (1) 由概率函

5、数的性质有 又有函数的幂级数展开知 ，从而有 解得 (2) 由(1)知随机变量的分布列为 显然，随机变量 取1和2的概率最大。,二、随机变量的概率密度函数 1. 连续型随机变量 Def 设 为随机变量，其分布函数记为 ，如果存在非负函数 ，使得 则称 为连续型随机变量，非负函数 为概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 2. 概率密度的性质 （1）对于任意 有 ； （2） ； （3）对于任意 有 ； （4）在函数 连续点有 。,3. 连续型随机变量与离散型随机变量区别 定理：设 为连续型随机变量， 为任意实数，则有 证明：设 的分布函数为 ，易知 处处连续。 于是，对于任意的 ，一定成立下列结论： 即有 不等式关于 求极限，便得 所以有 该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。,对于连续型随机变量总成立下式： 例2.12 设随机变量 的概率密度为 试求 。 解: 由概率密度的性质知 解得 ，所以,例2.13 设随机变量 的分布函数为 试求(1)常数 的值；(2) ；(3) 概率密度。 解: (1)由于连续型随机变量分布函数处处连续，所以有 从

6、而有 ，于是分布函数为 (2) (3),几个常用的概率分布 引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型（概率分布）来表达。 一、几个常用的离散型概率分布 1. 二点分布（0-1分布） Def 若随机变量 的分布表为 其中 ，则称 服从参数为 的二点分布。 二点分布所能刻画的随机现象： 凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否合格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。,2. 二项分布 Def 若随机变量 的概率函数为 则称 服从参数为 的二项分布，记为 。 二项分布所能刻画随机现象： 凡是 重贝努里概型中随机事件 发生次数的概率分布规律都可用二项分布来刻画。 当 时 ，二项分布就是二点分布。 例2.14 设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门课及格的概率和至少有3门课及格的概率。 解: 设 表示该学生恰好有3门课及格； 表示该学生至少有3门课及格。 显然，这是一个5重贝努里概型，从而有,例2.15

7、某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。 解: 设 表示10个索赔要求中被盗索赔要求的个数，则 于是，所求概率为 即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059 通过该例题的求解，可以看出： 二项分布当参数 很大，而 很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S. D. Poisson 提出了以下定理。,Poisson定理 设随机变量 ， 若 时，有 ，则有 证明：令 ，于是有 对于固定的 有 所以,有百分之一的希望 就要做百分之百的努力,实际应用中：当 较大, 较小， 适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。 例2.16 某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。 解: 400次上街400重Bernoulli概型； 记 为出事故的次数，则 。 由于 ，所以 由Poisson定理有 若某人做某事的成功率为1%，他重复努力4

8、00次，则该人成功的概率为 。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！,3.泊松（Poisson）分布 Def 若随机变量 的概率函数为 则称 服从参数为 的泊松分布，记为 。 泊松分布所能刻画随机现象： 服务台在某时间段内接待的服务次数； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数； 矿井在某段时间发生事故的次数； 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目； 单位时间内市级医院急诊病人数； 一本书中每页印刷错误的个数。 特别注意: 体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数 可以由观测值的平均值求出。,二、几个常用的连续型概率分布 1. 均匀分布（Uniform Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 则称随机变量 服从区间 上的均匀分布，记为 均匀分布所能刻画随机现象： “等可能”地取区间 中的值。这里的“等可能”理解为： 落在区间 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的；或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。这正是几何概型的情形。 例2.17 设 在 上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。 解: 方程有实数根等价于 ，即 ； 所求概率为 。,2. 指数分布（Exponential Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 则称随机变量 服从参数为 的指数分布，记为 指数分布所能刻画随机现象： 随机服务系统中的服务时间； 电话的通话时间； 无线电元件的寿命；动植物的寿命。 例2.18 设 服从参数为3的指数分布，试写出它的密度函数并求 。 解: 的概率密度为,3. 正态分布（Normal Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 其中参数 满足 ，则称随机变量 服从参数为 的正态分布，记为 。 特别当参数 时，也即 ，称其为

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