算术几何平均

1、算术几何平均算术几何平均两个数的和(也经常写或)被定义为从和,然后迭代(1)(2)直到到所需的精度。和互相靠拢(3)(4)但,所以(5)现在,添加对每一方(6)所以(7)块顶部显示为和为,而底部的两个情节表演对于复杂的值.年度股东大会是非常有用的在计算的值完成椭圆积分,也可以用于寻找逆切.它的实现Wolfram语言作为ArithmeticGeometricMeana,b。可以表示在封闭形式的第一类完全椭圆积分作为(8)算术几何平均的定义还持有复平面,正如上文所述.算术几何平均的勒让德形式给出(9)在哪里和(10)特殊的值在下表中进行了总结。一个特殊的值(11)(OEISA014549)高斯是常数。它具有封闭形式(12)(13)上面的积分是在哪里双纽线函数平等的算术几何平均高斯积分是已知的(Borwein和贝利2003年,页13 - 15)。斯隆价值A0685211.4567910310469068692A0848951.8636167832448965424A0848962.2430285802876025701A0848972.6040081905309402887年度股东大会是由的

2、导数(14)(15)在哪里,是一个第一类完全椭圆积分,是第二类完全椭圆积分.的级数展开是由(16)年度股东大会的属性(17)(18)(19)(20)解决微分方程(21)是由和.算术几何平均的泛化(22)与微分方程的解决方案是什么(23)这个案子对应于算术几何平均通过(24)(25)这个案子给出了立方相对(26)(27)讨论Borwein和Borwein(1990、1991)和Borwein(1996)。为,这个函数满足函数方程(28)因此,对于迭代和和(29)(30)所以(31)在哪里(32)参见:Brent-Salamin公式Brent-Salamin公式,也叫做Gauss-Salamin公式或Salamin公式,使用的是一个公式算术几何平均来计算。二次收敛。让(1)(2)(3)(4)并定义初始条件,。然后迭代和给出了算术几何平均,是由(5)(6)王(1924)表明,这个公式和勒让德关系是等价的,也可能来自其他。高斯是常数的互惠的算术几何平均1,(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA014549),是第一类完全椭圆积分,是一个雅可比的函数,是函数。这信件被高斯第一次注

3、意到,他探索的基础双纽线函数(Borwein和贝利2003,页13 - 15)。两个迅速收敛级数是由(8)(9)(芬奇2003,p . 421)。高斯的常数连分数0,1,5,21岁,3,4,14日,1,1,1,1,1,3,1日,15日,(OEISA053002).逆高斯的常数是由(10)(OEISA053004,芬奇2003,p . 420;Borwein和贝利2003年,13页),(1、5、21岁的3、4、14日,1,1,1,1,1,3,1,15日1,(OEISA053003).的值(11)(OEISA097057有时被称为无处不在的常数(Spanier和奥尔德姆1987;施罗德1987;芬奇2003,p . 421),和(12)(OEISA076390有时被称为第二双纽线不变(芬奇2003,p . 421)。高斯的常量和有关双纽线不变通过(13)(14)(芬奇2003,p . 420)。无处不在的常数让是高斯是常数和是它的乘法逆元。然后(OEISA097057)有时被称为无处不在的常数(Spanier和奥尔德姆1987;施罗德1987;芬奇1994,p . 421)。U(n)基本超

4、几何级数多个系列基本超几何级数的概括统一的组织。基本定理系列采用了, .,和, .,不确定的和。然后在假定没有分母消失(博1995,p . 22)。这个定理称为一个系列系列(米尔恩博1985;1985年,p . 22)。许多其他的结果,包括q-binomial定理和q-Saalschutz总和可以推广到系列。贝特曼函数为,在那里是一个合流超几何函数的第二种.第一类合流超几何函数第一种的合流超几何函数是一种堕落的超几何函数作为解决方案的出现合流超几何方程。它也被称为第一类Kummer领军的功能。有许多其他的符号用于函数(斯莱特1960年,p . 2),包括(Kummer领军1836),(Airey和韦伯1918),(亨伯特1920年),和(Magnus和Oberhettinger 1948)。另一种形式的解决方案合流超几何方程被称为惠塔克函数.第一种的合流超几何函数的实现Wolfram语言作为Hypergeometric1F1a,b,z。合流超几何函数的超几何级数给出的(1)在哪里和是Pochhammer符号。如果和是整数,要么或,那么系列收益率多项式有有限数量的条件。如果是一个整数,然

5、后是未定义的。合流超几何函数得到的拉盖尔多项式通过(2)(Arfken 1985,p . 755),还有一个积分表示(3)(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 505)。贝塞尔函数,小块土地,不完整的函数,埃尔米特多项式,拉盖尔多项式,以及其他都是这个函数的特殊情况(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 1972)。Kummer领军显示(4)(Koepf 1998,42页)。Kummer领军的第二个公式给了(5)(6)在哪里, .参见:Pochhammer象征Pochhammer符号(1)(2)(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 256;Spanier 1987;Koepf 1998,p . 5)一个不幸的符号用于理论的特殊功能上升!,也被称为阶乘崛起(Graham et al . 1994年,48页)或提升阶乘(米德尔斯堡和摩尔2004,p . 16)。Pochhammer符号实现的Wolfram语言作为Pochhammerx,n。组合的符号(罗马1984年,p . 5),(Comtet 1974年,p . 6),或(Graham et al . 199

6、4年,p . 48)用于上升!,而或表示下降!(Graham et al . 1994年,p . 48)。因此需要极其谨慎的解释的符号和.的头几个值为非负整数是(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA054654).在封闭的形式,可以写(8)在哪里是一个斯特灵第一种的数量.Pochhammer象征满足(9)分为两半的公式(10)(11)和复制公式(12)(米德尔斯堡和摩尔2004,p . 17)。的比例Pochhammer符号在封闭的形式给出(13)(米德尔斯堡和摩尔2004,p . 17)。的导数是(14)在哪里是双函数.特殊值包括(15)(16)Pochhammer符号由于欧拉遵循转换(17)在哪里是向前的区别和(18)(Nrlund 1955)。的总和可以做在封闭的形式(19)为.考虑到产品(20)(21)这个函数收敛于0,一个有限值,或发散,这取决于的价值。给出的临界曲线隐式方程(22)在这条曲线上,函数收敛于0,而外面,它发散。最大的融合发生是由真正的价值(OEISA090462),最小值。的极值值是由(OEISA090463)。在关键的轮廓,需要的值(23)策划的适当扩展

7、版本与有限显示美丽的和微妙的结构如上文所述(m . Trott per。通讯,12月1日,2003)。另一个美丽的可视化情节,正如上文所述(m . Trott per。通讯,2003年12月2日)。参见:合流超几何函数的第二种第二类的合流超几何函数使第二个线性无关的解合流超几何方程。它也被称为Kummer领军的第二种功能,Tricomi函数,或戈登功能。它是表示,可以定义为(1)(2)在哪里是一个正规化第一类合流超几何函数,是一个函数,是一个广义超几何函数(这是收敛的地方但存在作为一个正式的幂级数,阿布拉莫维茨Stegun 1972,p . 504)。它有一个积分表示(3)为(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 505)。第二类的合流超几何函数的实现Wolfram语言作为HypergeometricUa,b,z。的惠塔克函数提供解决方案的另一种形式。该函数有一个麦克劳林级数(4)和渐近级数(5)有导数(6)和不定积分(7)在哪里是一个梅耶尔准备功能和是一个积分常数.梅耶尔准备功能梅耶尔的函数是一个非常通用功能,减少在许多常见情况下简单的特殊功能。梅耶尔的函数被定义为(1)在哪

8、里是函数(Erdelyi et al . 1981年,p . 1068;Gradshteyn和Ryzhik 2000)。形式不同但功能等价的形式被Prudnikov et al .(1990,第793页),(2)这种形式提供了更多的一致性的定义这个函数通过一个逆梅林变换.梅耶尔的函数的实现Wolfram语言作为MeijerGa1,一个,(n + 1),美联社,b1、bm,b(m + 1),bq,z。一个广义的定义的函数形式(3)实现的Wolfram语言作为MeijerGa1,一个,(n + 1),美联社,b1、bm,b(m + 1),bq,z,r)。在这两种(2)和(3),轮廓之间的谎言波兰人的和波兰人的。例如,轮廓为如上图,在吗复平面和叠加函数本身(m . Trott)。Prudnikov et al。(1990)包含了一个广泛的近200页的清单梅耶尔的公式函数。特殊情况包括(4)(5)(6)(7)的一个特例2-argument形式(8)参见:L-函数编辑本词条缺少名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来编辑吧！是有算术有意义和算术背景的L-函数 例如黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时，引出了和素数分

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