双曲线-解析几何 2011高考一轮数学精品课件

1、学案7 双 曲 线,返回目录,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的 .,两个定点,焦距,考点分析,2.双曲线的标准方程和几何性质,返回目录,返回目录,x轴，y轴,x轴，y轴,原点,原点,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a ),(1,+),2a,2b,实半轴,返回目录,已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2： （x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.,【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 几何条件，结合双曲线定义求解.,考点一 双曲线的定义,题型分析,返回目录,【解析】如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|=r+ ，|MC2|=r- ， |MC1|-|MC2|=2 . 又C1（-4，0），C2（4，0）， |C1C2|=8， 2 |C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）,C2（4，0）为焦点的双曲线的右支. a= ，c=4，b2=c2-a2=14. 点M的轨迹方程是 （x

2、）.,返回目录,【评析】 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.,对应演练,在ABC中，A为动点，B,C为定点，B(- ，0)， C( ，0)且满足条件sinC-sinB= sinA,则动点A的轨迹方程是（ ） A. （y0） B. (x0) C. (y0)的左支 D. （y0）的右支,返回目录,返回目录,D（sinC-sinB= sinA,由正弦定理得 |AB|-|AC|= |BC|= a（定值）. A点的轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为 ，焦距为|BC|=a. 虚半轴长为 ，由双曲线标准方程得 (y0)的右支. 故应选D.）,返回目录,已知双曲线的渐近线方程为y= x，并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线方程.,【分析】从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故应分两种情况讨论求解.,

3、考点二 求双曲线方程,【解析】（1）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为 .因渐近线方程为y= x，则 又由焦点在圆x2+y2=100上知c=10，即有 a2+b2=100 由式解得a=6,b=8. 双曲线方程为 .,返回目录,返回目录,（2）当焦点在y轴上时，设双曲线方程 ,由 a2+b2=100 , 解得a=8,b=6. 另一条双曲线方程为 .,题设得,【评析】双曲线 与 是一 对共轭双曲线，一般形式是 =1. 因而本题有另一解法，设双曲线方程为 =, 于是(3 )2+(4 )2=100, 解得=4. 所以所求双曲线方程为 =4, 即 =1. 一般言之，若双曲线的渐近线方程为f1(x,y)=0,f2(x, y)=0,则其共轭双曲线方程形式为f1(x,y)f2(x,y)=(0).,返回目录,返回目录,对应演练,根据下列条件求双曲线方程： （1）以椭圆 的长轴端点为焦点，过P(4 ,3); （2）与双曲线 有共同渐近线，且过点 P(3,4 ).,（1）椭圆长轴端点为（5,0）, 所求双曲线的两焦点在x轴上，且c=5，又设双曲线的方程为 (a0,b0), P(4 ,3)在双曲线上， ,又a2

4、+b2=c2=25, 联立解之得a2=16,b2=9. 故所求双曲线方程为 .,返回目录,（2）与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可表示为 =m(m0), 由题意m= =-1, 故所求双曲线方程为 =1.,返回目录,返回目录,双曲线 (a1,b0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s c.求双曲线的离心率e的取值范围.,【分析】直接用已知的“距离之和s c”这个条件列出只含有a和c的不等式,再通过构造法,将此不等式变形为一个只有e= 的不等式,再解不等式即可得解.,考点三 双曲线的性质,返回目录,【解析】直线l的方程为 ,即bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l 的距离d1= . 同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2= . s=d1+d2= . 由s c,得 c,即5a 2c2. 于是得5 2e2. 即4e4-25e2+250,解不等式,得 e25. 由于e1,所以e的取值范围是 e .,返回目录,【评析】e2= 这一关系在双曲线 的有关运算中常常用到，同时要注意三种

5、曲线关于e的 范围的区别.,返回目录,对应演练,双曲线C： （a0,b0）的右顶点A，x轴上 有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使AP，PQ=0， 求此双曲线离心率的取值范围.,设P点坐标为(x,y),则由APPQ=0，得APPQ， 则P点在以AQ为直径的圆上， 即 . 又P点在双曲线上，得 . 由消去y，得,（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0. 即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0. 当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去. 当x= 时,满足题意的P点存在, 需x= a,化简得a22b2, 即3a22c2, . 离心率e= (1, ).,返回目录,返回目录,考点四 双曲线的综合应用,已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ ，0）， 一条渐近线m：x+ y=0，设过点A(-3 ,0)的直线l 的方向向量e=(1,k). (1)求双曲线C的方程; (2)若过原点的直线a l，且a与l的距离为 ,求k的值; (3)证明：当k 时,在双曲线C的右支上不存在点Q, 使之到直线l的距离为 .,返回目录,【分析】由渐近线为x+ y=0可设双曲线方程为 x2-

6、2y2=(0)，则a2=,b2= ,c= .可求; 中由al求k；中可利用反证法证明或利用直接法.,【解析】（1）设双曲线C的方程为x2-2y2=( 0),+ =3，解得=2. 双曲线C的方程为 -y2=1.,（2）直线l：kx-y+3 k=0，直线a：kx-y=0. 由题意，得 ，解得k= .,返回目录,(3)证法一：设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0， 则直线l与b的距离d= ， 当k 时，d . 又双曲线C的渐近线为x y=0， 双曲线C的右支在直线b的右下方， 双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 . 故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离 为 .,返回目录,证法二：假设双曲线C右支上存在点Q（x0，y0）到直线l的距离为 ， ， =2， 由得y0=kx0+3 k ，设 t=3 k ， 当k 时，t=3 k+ 0; t=3 k- 6 = 0.,返回目录,则,将y0=kx0+t代入得 （1-2k2） -4ktx0-2（t2+1）=0，( * ) k ,t0,1-2k20,-4kt0,-2(t2+1)0. 方程（ * ）不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C

7、的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.,返回目录,【评析】正确设出双曲线方程是解决本例的基础， 合理的推理、准确的计算以及充分地用好双曲线性质 是做好本例的关键.,返回目录,对应演练,已知双曲线C： (a0,b0)，B是右顶点，F是 右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA|，|OB|，|OF|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P. （1）求证：PAOP=PAFP; （2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.,返回目录,（1）证明：证法一：由题意知直线l的方程为y=-ab(x-c). y= (x-c) y= x |OA|，|OB|，|OF|成等比数列， xAc=a2,xA= ,A( ,0). PA=(0,- ),OP=( , ),FP=(- , ). PAOP=- ,PAFP=- . PAOP=PAFP.,返回目录,由,解得P（ , ）.,证法二：P（ ， ）,PAx轴， PAOP-PAFP=PAOF=0.PAOP=PAFP. y=- (x-c) 即(b4-a4)x2+2a4cx-(a4c2+a2b4)=0. l与双曲线左、右两支分别相交于点D,E，设D(x1,y1),E(x2,y2), x1x2= a4,即b2a2,c2-a2a2.e22，即e .,返回目录,（2）由,得b2x2- (x-c)2=a2b2.,返回目录,1.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2=b2+c2，而在双曲线中c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1). 3.双曲线 （a0,b0）的渐近线方程是y= x, （a0,b0）的渐近线方程是y= x. 4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明 斜率不存在的情况.,高考专家助教,5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点. 6.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两 渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,

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