数值分析第三版课本习题及答案
58页1、第一章 绪 论1. 设x0,x的相对误差为,求的误差.2. 设x的相对误差为2,求的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:其中均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6. 设按递推公式 ( n=1,2,)计算到.若取27.982(五位有效数字),试问计算将有多大误差?7. 求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(27.982).8. 当N充分大时,怎样求?9. 正方形的边长大约为100,应怎样测量才能使其面积误差不超过1?10. 设假定g是准确的,而对t的测量有0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列满足递推关系(n=1,2,),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?13. ,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大?14. 试
2、用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积其中c为弧度,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足第二章 插值法 1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且.2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 给出cos x,0x 90的函数表,步长h =1=(1/60),若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设,k=0,1,2,3,求.6. 设为互异节点(j=0,1,n),求证:i)ii)7. 设且,求证8. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少?9. 若,求及.10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).11. 证
3、明.12. 证明13. 证明14. 若有个不同实根,证明15. 证明阶均差有下列性质:i) 若,则;ii) 若,则.16. ,求及.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,.20. 设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22. 求在上的分段线性插值函数,并估计误差.23. 求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值并满足条件i)ii)25. 若,是三次样条函数,证明i) ;ii) 若,式中为插值节点,且,则.26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式). 第三章 函数逼近与计
4、算1. (a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.2. 求证:(a)当时,. (b)当时,.3. 在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.4. 假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求在上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?9. 设,在上求三次最佳逼近多项式.10. 令,求.11. 试证是在上带权的正交多项式.12. 在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.13. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.15. 在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. 是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.17. 求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. 、,定义 问它们是否构成内积?
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