数值分析课件第8章3-4节
64页1、1,8.3 豪斯霍尔德方法,8.3.1 引言,本节讨论两个问题,(1) 用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵 为上海森伯格阵.,(2) 用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵 为对称三对角阵.,于是,求原矩阵特征值问题,就转化为求上海森伯格阵 或对称三对角阵的特征值问题.,2,8.3.2 用正交相似变换约化一般矩阵为 上海森柏格阵,设 .,我们的目标是选择初等反射阵 ,,使 经正交相似变换约化为一个上海森伯格阵.,3,(1) 设,选择初等反射阵,其中 ,不妨设 , 否则这一 步不需要约化.,使,4,(3.1),令,其中,则,5,其中,6,(2) 第 步约化:,且,7,其中 为 阶上海森伯格阵,,设 ,于是可选择初等反射阵 使 ,,其中, 计算公式为,8,(3.2),令,则,9,(3.3),其中 为 阶上海森伯格阵.,第 步约化只需计算 及 .,当 为对称阵时,只需计算 .,10,总结上述讨论,有下面定理.,(3) 重复上述过程,则有,11,定理17,则存在初等反射阵 使,算法1,设 ,,本算法计算 (上海森伯格型),,其中 为初等反射阵的乘积.,(1) 计算初等反射阵 使,(豪斯霍
2、尔德约化矩阵为上海森伯格阵),设,(豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格型),12,(2) 约化计算,本算法约需要 次乘法运算,要明显形成 还需 要附加 次乘法.,13,例7,矩阵约化为上海森伯格阵.,用豪斯霍尔德方法将,解,使 ,,选取初等反射阵,其中,(1) 计算,14,则有,(2) 约化计算,令,15,则,16,8.3.3 用正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵,定理18,(豪斯霍尔德约化对称阵为对称三对角阵),设,为对称矩阵,,使,则存在初等反射阵,17,证明,又由于 的对称性,故只需计算 的对角线以下 元素.,注意到,18,引进记号,则,19,算法2,(豪斯霍尔德约化对称阵为对称三对角阵),的对角元 存放在数组 内.,的次对角元素 存放在数组 内.,数组 最初可用来存放 及 ,确定 中向量 的分量存放在 的相应位置.,冲掉 ,约化 的结果冲掉 ,数组 的上部分 元素不变.,20,如果第 步不需要变换则置 为零.,21,22,对对称阵 用初等反射阵正交相似约化为对称三对角 阵大约需要 次乘法.,23,8.4 QR 方 法,8.4.1 QR算法,QR方法是一种变换方法,是计算一般矩阵(
3、中小型矩 阵)全部特征值问题的最有效方法之一.,QR方法主要用来计算:,(1)上海森伯格阵的全部特征值问题,,(2)计算对称三对角矩阵的全部特征值问题,且QR方法具有收敛快,算法稳定等特点.,24,设 ,且对 进行QR分解,即,对于一般矩阵 (或对称矩阵),首先用豪斯 霍尔德方法将 化为上海森伯格阵 (或对称三对角阵),,然后再用QR方法计算 的全部特征值.,其中 为上三角阵, 为正交阵.,显然, 是由 经过正交相似变换得到,因此 与 特征 值相同.,于是可得到一个新矩阵,25,再对 进行QR分解,又可得一个新的矩阵,重复这一过 程可得到矩阵序列:,设,将 进行QR分解,作矩阵,求得 后将 进行分解,形成矩阵,QR算法,就是利用矩阵的QR分解,按上述递推法则 构造矩阵序列 的过程.,26,只要 为非奇异矩阵,则由QR算法就完全确定 .,定理19,设 . 构造QR算法:,记 则有,(1) 相似于 ,即,(2),(3) 的QR分解式为,(基本QR方法),(4.1),27,证明,用归纳法,,显然,当 时有 ,,设 有分解式,于是,其中利用了,(1),(2)显然,下面证(3).,28,由第5章
4、定理30或定理31知,将 进行QR分解,即将 用正交变换(左变换)化为上三角矩阵,其中 , 故,这就是说 可由 按下述方法求得:,(1) 左变换 (上三角阵);,(2) 右变换,29,定理20,设 .,(1) 如果 的特征值满足: ;,(2) 有标准型 其中 ,,(QR方法的收敛性),且设 有三角分解 ( 为单位下三角阵, 为上三角阵.则由QR算法产生的 本质上收敛于上三角矩阵,,即,30,若记 ,则,(4.2),当 时 极限不一定存在.,(4.3),31,定理21,关于QR算法收敛性的进一步结果有:,设 ,且 有完备的特征向量集合,如果 的 等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值,则 由QR算法产生的 本质收敛于分块上三角矩阵(对角 块为一阶和二阶子块)且对角块中每一个22子块给出 的 一对共轭复特征值,每一个一阶对角子块给出 的实特征值,,即,32,其中 , 为22子块,它给出 的一对共轭特征 值.,33,则 元素将以收敛因子 线性收敛于零,,8.4.2 带原点位移的QR方法,定理20中 的速度依赖于比值 ,,当 很小时,收敛较快.,如果 为 的一个估计,且对 运用QR算法
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