数值传热学第四章-数值计算

1、第四章 热传导,主要包含以下内容： 4.1本章的对象 4.2 一维稳态热传导 4.3 不稳态一维热传导 4.4 二维与三维问题 4.5超松弛与欠松弛 4.6某些几何上的考虑,4.1 本章的对象,一、本章研究对象 本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的介绍将在第五章完成。,二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因,热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复杂性最小，计算方法也比较成熟； 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的润滑流动；某些通过多孔介质的流动。 导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、源项的线性化及代数方程组的求解方法等。,. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。,本章内容将是流动与换热数值解的基础,4.2 一维稳态热传导,4.2-1 基本方程,一维稳态导热问题的控制方程：,式中：,相应的离散化

2、方程：,分布假设： 由T 对 x 的分段线性的变化算得； 源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯性分布进行计算的。,当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。,以下各节将对离散方程中的各项给予说明,4.2-2 网格间距,1. 采用不均匀的网格间距,可以有效地扩大计算功能。 在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区域采用较疏（粗）的网格。,2. 怎样设计一个合适的非均匀网格,因为在问题求解之前，T x 的分布是不知道的，那么如何设计网格呢？,.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；,.采用粗网格进行试算,求得Tx的变化形式，再对温度变化急剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。,3. 先疏后密的网格划分是有前提的,采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。 达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应采取的分布方式与所求问题的特性有关。,4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。

3、 也可来指导实验。,4.2-3 界面导热系数,1. 问题的提出,通用离散方程式,aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW，无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。,式中：,k 值不均匀性产生的原因 由材料的不均匀性引起（如组合材料板）； 材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。,2. 求解方法,.算术平均法,如图所示，P、E之间，k与x 呈线性关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确定ke 的关系式为：,显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之间的中点时，fe=0.5, 此时,.调和平均法,利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：,另一方面，按界面上当量导热系数的含义，应有：,比较两式可得：,可看成是串联过程热阻叠加原则的反映,.两种方法的比较,算术平均法简单方便，但在处理

4、导热性能相差很大的组合材料导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况： kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面，节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于。但用算术平均法计算, , 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，不符合物理规律。,P控制容积是良导热体 ,按算术平均法计算,当网格均分时,即P、E两点间的热阻为 ，表明此时P、E间的热阻主要由k 大的物体所决定，显然不符合传热原理。实际上，此时控制体E 构成了热阻的主要部分。,调和平均法可以合理求解上述两种极限情况,当 时,表明ke 完全与kP无关，这个结果是可以预料的。因为围绕 P 点的材料k 值高，其热阻与围绕E 点的材料相比可以忽略。,当 kE0 时，由计算公式得 ke0，qe0。意味着在一个绝 热层的表面上热流密度为零，与实际情况相符。,调和平均公式的推导是对于稳态、无内热源、k在相邻的两个控制容积之间发生阶梯式变化导出的。从定性上，串联热阻叠加的适应性不受上述条件的限制。,采用两种方法进行数值计算的结果表明，即使对有内热源或k 呈连续变化的场合，调和平均

5、也比算术平均更好一些。,4.2-4 非 线 性,若离散化方程是一个线性的代数方程，式中的各项系数均为已知数，联立求解代数方程组可得到温度场。,但实际问题中，Kp 、KE和Ke或线性化源项的系数SC、SP是温度T的函数，这样离散化方程的系数aE、aW、aP本身也成为温度的函数，方程非线性采用拟线性化的方法求解（迭代）。,具体求解步骤： . 先设定域内全部节点的温度值（给定一个初场）； . 由这些设定的T值计算出离散化方程中系数的试探值； .解名义上的代数方程组，得到一组新的T值； . 以这些新的T值作为较好的估计值，返回到，并重复此过程，直到重复计算不再引起T值任何意义上的变化为止。收敛,收敛：计算达到最终不变的状态称之为迭代的收敛。,发散：一次次的迭代永远不会收敛到一个解。T的值可能稳定地飘移或是以一个不断增大的振幅振荡,这种与收敛相对的过程称之为发散。 一种好的数值方法应当使发散的可能性减为最小。,4.2-5 源项的 线 性化,如果源项是常数，则在离散方程的建立过程中不会带来任何困难；当源项是所求变量的函数时，源项的数值处理十分重要，有时甚至是数值求解的关键所在。,应用较为广泛的一种

6、处理方法是把源项局部线性化,SC常数， SP 是S 随T 而变化的曲线在P点的斜率。表示在TP的附近以直线代替曲线。,几点说明：,.当源项为未知量的函数时，线性化的处理比假定源项为常数更为合理； 因为S=f (T)，把S 作为常数处理就是以上次迭代计算所得之T* 来计算 S，这样源项相对于T永远有一个滞后。而线性化处理后，TP 是迭代的当前值，这样使 S能更快地跟上TP 的变化。,. 线性化处理又是建立线性代数方程所必需的；,. 为了保证代数方程迭代求解的收敛，要求 ；,离散化方程的一般式：,线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是主对角占优，即,这就要求:,. 由代数方程迭代求解公式：,可见，SP绝对值的大小影响迭代过程中温度的变化速度，SP绝对值越大，系统的惯性越大，相邻两次迭代之间TP 的变化越小，收敛速度下降；但有利于克服迭代过程的发散。,源项线性化方法举例：,eg1. 已知：S=5-4T, 可能的线性化形式有：,相当于设S 为常数，当S 的表达式很复杂时，这样做或许是唯一的一种选择。,这给出了比实际S-T关系更陡的曲线，其结果使迭代收敛的速度减慢了。若在所研究的问题中还存在着

7、其它的非线性项时，这种减慢的做法是受欢迎的。,eg2. 已知：S=3+7 T, 可能的线性化形式有：,eg3. 已知：S=4-5 T3, 可能的线性化形式有：,已知的S-T曲线要比这一关系所反映的曲线陡。,(3) 推荐的方法,于是：,这一线性化表示，在 点所选择的直线与S-T曲线相切。,这一线性化比已知的S-T曲线为陡，它使收敛速度减慢。,结论：在所有负斜率的直线中，与已知曲线相切的直线通常为最佳(图中2线)；较陡的直线是可以接受的(图中3线) ；欠陡的直线是不希望采纳的(图中1线) ，它不能体现已知的S 随T 的下降速度。,4.2-6 边 界 条 件,1. 问题的提出,前面所推得的离散化方程适用于稳态导热问题的任何内部节点，为计算一个具体问题，应把边界条件也用离散方程表示。因为只有离散化方程的个数与待求节点变量的数目相等时，代数方程组才能封闭。,2. 网格划分的两种方法,先定节点位置，后定控制容积 A类网格,这种网格划分方法，在边界上将出现半控制容积。当网格划分不均匀时，节点位置并不落在控制容积的几何中心位置。,先定控制容积，后定节点位置 B类网格*,这种方法是在边界上附上一层厚度为

8、零的控制容积，代表这个控制容积的边界节点恰好落在边界上。无论网格如何划分都不会出现半控制容积，并且所有节点都位于控制容积的几何中心。,由于在边界上将出现不同的控制容积，所以将根据不同的方法来离散边界条件。,三类不同的边界条件,3. 构建边界节点的附加方程 A类网格,. 第一类边界条件 TB已知,不必额外增加边界节点方程，把 TB代入邻近节点的代数方程即可。,. 第二类边界条件 qB已知,可在边界半控制容积内对微分方程积分建立附加方程，热平衡式为：,qB,注：规定以进入计算区域的热量为正。,交界面i 处的热流为：,将qi 代入上式得：,qB已知时，方程可整理成：,式中：,. 第三类边界条件 已知 h、 tf,将边界热流 代入上式的B点方程，形式同上：,式中：,3. 构建边界节点的附加方程 B类网格*,. 第一类边界条件 TB已知,不需要附加方程,. 第二类边界条件 qB已知,B点方程为：,式中：,也可以看作是第一种情况，在离散区域 x0时的极限。,. 第三类边界条件 已知 h、 tf,B点方程形式同上,式中：,至此，已构成对所有未知温度的足够数量的方程,4.2-7 线性代数方程的求解,1

9、. 求解方法,线性代数方程组的解法通常有迭代法和直接解法两种。 由于一维导热数值求解的离散方程中，待求温度仅与左右两个节点的温度有关，这样形成的代数方程组的系数矩阵将是三对角矩阵，采用追赶法（TDMA）.,2. TDMA算法要点,TDMA是一种简单、方便、高效率的计算方法，求解过程包括消去变量求系数的正过程和回代求温度场的逆过程。,正过程：消元的目的是将每个包含三个待求变量的方程，消去一个变量，使之成为两个待求变量的方程，继而把所有这些两个变量的方程新系数值计算出来，直到边界上原来只有两个待求变量的方程，经消元后变成了单变量方程，并能直接求出边界变量值为止。,回代过程：由已知的边界变量值逐一按次序回代到已求出系数的二变量方程中便可求出全部待求变量。,经过消元与回代便完成TDMA的全过程。,TDMA算法的数学表述,i节点的离散方程可写为：,考虑到边界节点的特殊形式：,如果T1已知，则有：,这些条件意味着T1 是T2的函数，而T2与T1 、T3 ， T2 T3。这一代入过程可一直继续到TN TN+1的关系式。由于TN+1并不存在，所以到此实际上也就得到了TN的值。由此可以回代了，由TN TN-1 TN-2 T2 T1 。,3. TDMA的数学推演,假设在代入过程得到： ,试图找到一个关系： ,将 代入离散方程的一般表达式中，将Ti-1用Ti代即可,对比与即可得到Pi、Qi的递推公式：,特例：,求得TN后，可以回代了！,4. TDMA的计算机程序说明,. 由P1、Q1的表达式计算出P1、Q1的值； . 由P、Q的递推式计算得出P2、Q2； Pi、Qi. QN . 令 TN= QN .对N-1, N-2, 3，2，1应用回代式 可求得TN-1、TN-2 T3、T2 、T1 。,只要代数方程可以表达成

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