数学建模投资的收益与风险问题论文

1、第 1 页 投资的收益和风险问题投资的收益和风险问题 摘摘要要 本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。分别在不 考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型， 来使得投资所获得的总利润达到最 大。 问题一是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，也即模型 1， 用 Lingo 软件求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20 亿的可用投资金额所获得的最 大利润为 153254.4 万元。然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项 目的投资上限对总利润的影响。发现利润与利润率成正比的关系；可用投资总额有一个 上限，当投资额小于这个上限时，总利润与可用投资额成正比的关系，当大于这个上限 时，可用投资额与总的利润没有关系，总利润率保持不变；各项目的投资上限均与目标 值呈正相关，项目预计到期利润率越大，该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。 问题二是一个时间序列预测问题。分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的 情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。两种情况下的预测思路与方法大致相同。 首先根据数据计算出到期利润率，将每一个项目的利润率看成一

2、个时间序列，对该序列 的数据进行处理，可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。再计算该 序列的自相关函数和偏相关函数，发现该时间序列具有自相关函数截尾，偏自相关函数 拖尾的特点，所以可认为该序列为一次滑动平均模型（简称 MA(1)） 。接着，用 DPS 数据 处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。 对于风 险损失率，我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小，将预测出来的投资利润率 加入到样本数据序列中， 算出该组数据的标准差， 用该值来衡量未来五年的风险损失率。 具体答案见 4.2.2.1 问题的分析与求解。同样在考虑相互影响的情况下，我们运用 ARMA(3,1)模型进行预测，结果见 4.2.2.2 问题三与问题一类似，也是优化的问题，其目标仍是第五年末的利润最大，而且也 没有考虑风险问题，只是约束条件改变了。我们建立非线性规划模型，仍用 Lingo 解得 大利润为 620589.7 万元。 问题四在问题三的基础上， 考虑了预期风险损失率， 建立了一个多目标规划模型三， 求取投资最大收益额和最小损失额。由于模型三在我们现有基础上不易求解，我

3、们又运 用线性加权平均法的思想对投资利润和投资损失额进行加权平均建立了模型四。运用 matlab 软件进行计算，得出了最优解为 314250.8 万元。 问题五首先假设一部分资金存入银行获取利息， 并向银行贷款进行其他项目投资， 然后根据题四方法和思想，运用 Lingo 软件求得：当3 . 0s时，可得第五年总金额最大 值：79582.4万,则第五年的最大利润59582.4万。 关键字关键字：线性规划时间序列ARMA 模型LINGOMATLAB 第 2 页 1 1 问题的重述问题的重述 随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行赢利，已是许多公司取得利润的的主 要途径。 但是这样的投资又存在着一定的风险。 不是每一次投资都能百分之百获得利润， 所以怎样缓解与解决赢利与风险之间的矛盾，是每一个投资商及待解决的问题。本题就 是要通过一个实例，建立数学模型，用数学的眼光来看待及解决这个问题。 题目给定了 20 亿作为未来 5 年的投资资金， 而现在市场上给定的投资项目有 8 个： 项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4 每年初 投资，要到第二年末才

4、可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回 收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年 初投资，到第五年末回收本利。 1）第一问要解决的问题是建立一个优化模型，在给出实验数据的前提下，如何安排 20 亿的投资资金使第五年末的所的的利润达到最大。 2）给定 8 个项目近 20 年的投资额与到期利润的数据，同时还知道投资的各个项目 之间还会出现相互影响的问题。具体的数据由题目附录给出。现在要解决的问题 是根据往年的数据， 预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资 的到期利润率、风险损失率。 3）在问题 2 的基础上，现有两种情况： a. 对投资项目 1， 公司管理层争取到一笔资金捐赠， 若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。 b. 项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资。 (个项目的投资额上限见表 4) 在这两种情况下，且根据问题 2 的结果，确定 5 年内如何安排 20 亿，使得第五 年末所得利润最大。 4）另外由实际可知， 当投资越分

5、散， 也即投资的项目多， 而且金额相对比较平均时， 那么总的风险就越小。现规定：当用 20 亿投资若干种项目时，总的风险用所投 资的项目中最大的一个风险来度量。在这种情况下，应该如何考虑风险问题？问 题 3 中的投资又应该如何安排？ 5）由于考虑风险问题， 公司可以拿一部分资金存进银行， 但是为了获得更大的利润， 公司可以在银行贷款来投资，贷款的上限和利息可根据实际情况来确定。那么在 这种情况下又应该如何安排 5 年的投资计划？ 2 2 背景分析背景分析 随着市场经济的不断发展和投融资体制改革的逐步深入,投资已成为推动我国经济 发展不可缺少的动力，也是不少公司获得利润的主要途径。而现如今在投资问题中，收 益和风险是一对主要矛盾，怎样调节二者的矛盾，使获得的收益最大，而相应的风险却 最小， 是各商家要解决的主要问题， 在市场经济条件下， 企业能否将资金投入到收入高， 回收快，风险相对小的项目上去，对企业的生存和发展十分重要。 第 3 页 3 3 模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明 3.13.1 模型的假设模型的假设 a) 无交易费和投资费用等的费用开支； b) 在投资的 5 年时间

6、内市场发展基本上是稳定的； c) 投资期间社会政策无较大变化； d) 公司的经济发展对投资无较大影响； e) 外界因素对投资的资产无较大影响。 资产投资是在市场中进行的,市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进行准确描 述的,因此以上的假设是必要的。一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并 非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险的投 资。市场与社会的系统发展在一个时期内是良性的，稳定的,因此以上假设也是合理的。 . 3.23.2 符号说明符号说明 符号说明见表 1： 表表 1 1符号说明表 符号说明 z 第五年末的利润 i m 第i年初的可用总资金，也就是第1i年末的可用总资金 j l第j个项目的投资额上限 ij x第i年初对第j个项目的投资额 j p模型一中第j个项目的预计到期利润率 收益的标准差 ij c 模型三中第 I 年第 j 个项目的利润率 i w 第I 年获得捐赠的资金数目 i k 第 I 年第五个项目重复投资的次数 i o 三个项目同时投资的利润率 i q 两个项目同时投资的利润率 第 4 页 4 4 问题的分析与求解问题的分析与求解

7、4.14.1 问题一的分析与求解问题一的分析与求解 4.1.1 问题一的分析问题一的分析 该题是一个单目标的优化问题，其目标是在不考虑风险的情况下安排 20 亿的投资 金，使得第五年末的利润 z 最大，也即总利润最大。将 5 年的对 8 个项目的投资利润累 加起来就是要求的目标函数，要做的是如何安排 5 年的投资计划，每一年应该投资哪几 个项目，每个项目的投资金额为多少。该决策受到两个条件的限制： 1）各个投资项目的投资上限。在任一项目的运行期间，公司对该项目的投资总额不 能超过该项目的投资上限。运行期的概念是从投资开始到回收本利的这段时间。 例如：第一年对项目三投资了 30000 万元，由于项目三的投资上限是 40000 万元， 运行周期为两年，则第二年，该公司对项目三的投资额不能超过 10000 万元； 2）每年的可用资金。每年的可用资金等于上年的可用资金减去上年的总投资额再加 上上年末各项目回收的本利。每年 8 个项目的投资金额总数不能超过该年的可用 资金。 4.1.2 模型模型 1 的建立与求解的建立与求解 通过上面的分析，我们可以运用线性规划的方法建立模型 1。 目标函数是第

8、五年末的总利: j ji ij pxz 8 1 5 1 max （1） 约束条件为： 项目 1 和 2 每年的投资金额的限制： jij lx )2 , 1, 5 , 4 , 3 , 2 , 1(ji(1.1) 项目 3 和 4 在两年的运行期投资金额的限制： jjiij lxx , 1 )4 , 3, 5 , 4 , 3 , 2(ji(1.2) 项目 5 和 6 在三年的运行期投资金额的限制： jjijiij lxxx , 2, 1 )6 , 5, 5 , 4 , 3(ji(1.3) 项目 7 运行期为 4 年，且要第二年初投资，所以只投资一次： 727 lx(1.4) 项目 8 运行期为 3 年，且要第三年初投资，所以也只投资一次： 838 lx(1.5) 第 i 年的可用投资金额对 8 个项目的投资金额的限制： 第 5 页 i j ij mx 8 1 )5 , 4 , 3 , 2 , 1( i(1.6) 第一年的投资金额上限： 200000 1 m（1.7) 第 i 年的投资金上限 i m为第 i-1 初的资金 1i m 减去第 i-1 年投资用去的资金， 再加上第 i-1 年末回

9、收的的资金, 第 2 年初至第 6 年初的投资资金依次如下： )1()1( 212111 8 1 112 pxpxxmm j j (1.8) )1 ()1 ()1 ()1 ( 414313222121 8 1 223 pxpxpxpxxmm j j (1.9) )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ( 616515424323232131 8 1 334 pxpxpxpxpxpxxmm j j (1.10) )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ( 626525434333242141 8 1 445 pxpxpxpxpxpxxmm j j (1.11) )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ( 838727636535444343252151 8 1 556 pxpxpxpxpxpxpxpxxmm j j (1.12) 用 Lingo 编写程序，程序见附录 1。解得最大利润为153254.4（万元）， 投资方案如表 1.1 所示 表 1.15 年内各项目的投资计划单位（万元） 投资额（亿元）第一年第二年第三年第四年第五年 项目一60000.0045544.4460000.0060000.0060000.00 项目二30000.0030000.0030000.0030000.0030000.00 项目三40000.000.0000000.00000040000.000.000000 项目四10114.6119885.390.00000030000.000.000000 项目五3755.5560.00000026044.440.0000000.000000 项目六20000.0040000.000.0000000.0000000.000000 项目七0.0000000.0000000.0000000.0000000.000000 项目八0.00000060000.0030000.000.0000000.000000 表 1.1 表明：第一年初，投资项目一 60000 万，项目二 3

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