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专升本资料3(一元函数积分学)

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常见问题

1、四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范围及要求一函数、极限和连续二一元函数微分学三一元函数积分学（一）不定积分（成都理工大学13：理文科1个选3分；）（成都理工大学14：理文科1个选3分；）（攀枝花学院13：理科选择3分、解答两个12分；文科选择3分、解答一个5分；） 1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。（1）是的一个原

2、函数是的一个原函数（2）不定积分的基本性质，，，例1 （攀枝花学院：理科选择3分）设是的一个原函数，则 .A、 B、 C、 D、例2 （攀枝花学院：文科选择3分）1、若为连续函数，则等于.（A）（B）（C）（D） 2. 熟练掌握基本的不定积分公式。不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个）3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换）（1）第一类换元法：（凑微分）（换元，可以省略，写到草稿纸上）（用积分公式，可以省略，写到草稿纸上）（回代还原）。（2）第二类换元法：主要解决：带有根式的函数的积分：，令，则基本的三角代换：含有时，令，从而，含有时，令，从而，含有时，令，从而，4. 掌握不定积分的分部积分法。主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。先将被积函数化为：整式+真分式。再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。例1（成都理工大学13：理科、文科

3、选择题1个3分）已知，则【】(A) (B) (C) (D)例2（成都理工大学14：理科、文科选择题1个3分）若，则=【】（A）（B）（C）（D）例3 (1)（攀枝花学院13：理科解答题2个12分）求下列积分；；（攀枝花学院13：理科解答题2个12分）（攀枝花学院13：文科解答题1个5分）(1)（攀枝花学院14：理科解答题1个6分）计算例4 求下列积分；；；；（二）定积分1. 理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。（1）定义（2）结论：定积分与积分变量的无关：，，（4）函数可积的两个充分条件在上连续在上可积。在上有界，且只有有限个间断点在上可积。（5）定积分的几何意义在上；在上；在上有正有负由曲线、直线、及轴围成的图形的面积为：2. 掌握定积分的基本性质。性质1 （运算性质）；。性质2 （可加性）性质3 （可比性）在上，性质4（估值定理），M与m分别是函数在上的最大值及最小值。性质5 （定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使得（）3. 了解变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定

4、积分求导的方法。； 4. 熟练掌握牛顿莱布尼兹公式。函数是连续函数在区间上的一个原函数分段函数、带绝对值符号的函数的积分：可加性5. 掌握定积分的换元法和分部积分法，并会证明一些简单的积分恒等式。（1）定积分的换元法令，则当时，；当时，（2）定积分的分部积分法主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。（3）重要结论奇、偶函数在对称区间上的积分当在上为奇函数时，；当在上为偶函数时，周期函数的积分正、余弦函数的上的积分对有递推公式：；当为奇数时：当为偶数时：6. 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。其中： ,例1 （成都理工大学13：理科、文科选择3分）广义积分=【】(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 例2 （成都理工大学13：理科、文科填空3分） = 例3（成都理工大学14：理科、文科解答题8分）设函数，计算定积分；例4 （1）（攀大13：理科填空3分） .（2）（攀大14：理科填空3分）例5 （攀大13：理科计算6分）例6 计算例7 证明 (1) ； (2) ；由此计算(3) (4) 7. 掌握直角坐标系下用定积

5、分计算平面图形的面积，会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。（1）由曲线及直线与与轴所围成的曲边梯形面积如图321 （2）由曲线与及直线与所围成的图形面积如图322 （3）由曲线及直线与与轴所围成的曲边梯形面积。取作积分变量，其面积为（如图323）（4）由曲线与及直线与与()所围成的曲边梯形面积为（如图324）求平面图形面积的步聚：确定积分变量，确定积分区间；在积分区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求的面积微元；写出面积的定积分表达式，并求计算结果。（5）设是上的连续函数，由曲线与直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体。取为积分变量，在任取区间,过点作垂直于轴的平面，则截面是一个以为半径的圆，圆面积为；再过作垂直于轴平面，得另一截面，而夹在两个截面之间的小薄片的体积可以近似地看作为一个以为底面半径，为高的圆柱体的体积。叫体积微元。把体积微元在上求定积分，得到旋转体的体积：（6）由曲线及直线、与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而得的旋转体（如图333）的体积为。例1 （成都理工大学14：理科、文科填空3分）由曲线所围成的平面图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积等于【】（A）（B）（C）（D）例3（攀大14：理科解答6分）由曲线所围成平面图形绕轴旋转得到的立体体积。例4（1）求抛物线和直线所围成的平面图形的面积。（2）求由抛物线与直线所围成图形的面积。（3）求由曲线与所围的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积。（4）求由曲线, 所围的平面图形分别绕轴和轴；

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