数学概念,命题的教学

1、中学数学基础知识的教学,一 数学概念及其教学,二 数学命题及其教学,三 数学推理、证明及其教学,一 数学概念及其教学,数学概念概述 数学概念学习的心理分析 数学概念教学的基本要求和教法探讨,数学概念概述,数学概念的意义 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。 “属性”与“本质属性” ；概念及其名称和符号 数学概念产生和发展的途径 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来；,数量关系和空间形式,概念的内涵和外延 概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。 概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和。 例：“ABC的顶点” 内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质； 外延是指 A、B、C三点的集合。 注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。 （2）概念的内涵和外延是发展的,概念间的关系（概念外延间的同异关系） 1、相容关系 （1）同一关系（全同关系或重合关系） 外延完全重合，内涵可以不同。 例如：数0是扩大的自然数

2、集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数 的差等； 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。 注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。,（2）从属关系 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延 和 的关系可以写成,注：内涵和外延的反比关系 正方形内涵 矩形内涵 平行四边形内涵 四边形内涵 正方形外延 矩形外延 平行四边形外延四边形外延,（3）交叉关系 如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合 和集合 ，如果 是非空集合而且不是 ，那么这两个概念具有交叉关系。,例： （1）整数和整数 （2）等腰三角形和直角三角形,（4）不相容关系（全异关系） 如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关

3、系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。 全异关系又分为反对关系和矛盾关系。,概念的定义和原始概念 把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。 原始概念 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。 数学中常用的几种定义方式 （1）属概念加种差的定义方式 四边形+两组对边分别平行=平行四边形 （2）发生定义方式 在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。,（3）揭示外延的定义方式 整数和分数统称为有理数。 （4）约定式定义 我们规定“ ” 。 (5)关系定义：有的种差是被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系，或它与另一对象对第三者的关系。如：偶数就是被2整除的整数。,下定义的基本要求 （1）定义应当相称 无理数：有理数开不尽的方根。 平行线：两条不相交的直线。 （2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角） （3）定义一般不用否定形式 不是有理数的数是无理数。 （4）定义应当简明 两组对边平行的平面四边形是平行四边形。 四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。 （5）定义一般不用比喻说法,概念的划分和分类 把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法叫做概念

4、的划分。 概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。 概念分类的要求： i）所分成的种概念之间应是全异关系， ii）分类应是相称的 iii）每次分类都应按照同一个根据进行 iv）分类不应越级,概念的划分和分类 （3）二分法 二分法是一种常用的分类方法，是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念,数学概念学习的心理分析,概念学习的基本形式 1.概念的形成 概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。可概括如下： （1）辨别各种刺激模式，通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。,（2）分化出各种刺激模式的属性。 （3）抽象出各个刺激模式的共同属性。 （4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。 （5）概括，形成概念。 （6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。 （7）用习惯的形式符号表示新概念。,“函数”概念的形成过程： 1、观察实例，写出变量

5、间的关系表达式： （1）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间 （2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻 （3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。 2、找出上例中两变量之间关系的共同本质 3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应） 4、概括出函数定义 5、练习巩固成形,2.概念的同化 概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性。 由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，必须： 第一，新概念具有逻辑意义；第二，学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识；第三，学生积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。,概念同化的阶段 （1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号； （2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征； （3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念； （4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结

6、构中的相关概念分化； （5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会贯通，组成一个整体。,如“一次函数”的概念 给出名称、定义、符号：函数 特例： 等 把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作 比较 用肯定、否定例证让学生辨认：,教学过程中要注意： （1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来理解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习的，所以应注意及时利用实例，使抽象概念获得具体例证的支持； （2）学习中必须经过概念分类这一步，使学生从外延角度进一步对概念进行理解； （3）在引入概念的同时，要求学生掌握一定的智力动作，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它用于解题的情况；,（4）为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，以防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的情况； （5）一定要将所学概念纳入到已有认知结构中，形成概念系统。,概念教学的基本要求和教法探讨,概念的引入概念的明确概念的系统化 概念的运用 1、概念的引入 （1）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。 “针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用

7、“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法，“1，2，3，叫做自然数”是指明对象法。,（2）对于用概念的形成来学习的概念 一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。 （3）对于用概念的同化来学习的概念 （a）用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。 （b）由概念的推广引入的概念 讲清三点：推广的目的和意义； 推广的合理性； 推广后更加广泛的含义。,（c）采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。 关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。 （d）根据逆反关系引入新概念 多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。 关键是讲清逆反关系。,(4)发生式定义 通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。 2、概念的明确 （1）定义的必要理解； 对定义的逻辑意义的理解需要在分析定义时加以必要的解释 例如，A到B的“映射”的概念、教师有必要通过具体例子说明：i）映射是两个集合A、B之间的一个对应法则；ii）A可以等于B；iii）A中每一个元素有象；iv）象唯一；v）B中的元素不一定有原象；vi）B中的元素有原象时未必唯一,2、概念的明确 （2）表示概念的名称或符号的正确使用； （3）抓住掌握概念的关键； （4）举出肯定例证和否定例证； （5）充分揭示概念的内涵；,3、概念的系统化 数学是一门演绎科学，中学数学基本上也是一个演绎体系，数学根据概念和定理的互相联系而构成数学知识体系，掌握概念体系是掌握整个演绎理论的必要条件因此，在数学教学中，不仅应当掌握单个概念，而且还应当掌握每个具体课题乃至整个数学课程的完整的概念体系,4、概念的运用和深化 （1）复述定义，指出对象 （2）初步应用（用概念解答问题） （3）在发展中巩固,

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