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数学归纳法(省公开课)

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常见问题

1、数学归纳法,从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”于是，财主很高兴，把教书先生给辞退了。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说： “你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写酸了，才刚刚写完三千横！”,讲故事,归纳推理：,由部分到整体、由个别到一般的推理。,一个数列的通项公式是： an= (n25n+5)2 请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= 猜测an?,由于a525 1，所以猜测是不正确的,所以由归纳法得到的结论不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,猜想：,计算:,不完全归纳法,验证:,逐一验证，不可能！,后面是否成立？,归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法。,结论一定可靠，但一一核对困难,结论不一定可靠，但有利于发现问题,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳

2、法分为完全归纳法和不完全归纳法,思考：归纳法有什么优点和缺点？,优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律,缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的,思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？,思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？,看看下面的动画对我们解决问题有什么启示？,人体多米诺,问：人体多米诺游戏所有人全部倒下，必须具备哪两个条件？,(1)第一个人倒下；,(2)前一人倒下必导致后一人倒下。,条件(2)给出了一个递推关系，若第K人倒下，则相邻的第K+1人也倒下.,（1）第1个人倒下。,(1)当n=1时，验证猜想正确。,（2）如果第k个人倒下时，一定能导致第k+1人也倒下。,(2)如果n=k 时猜想成立,根据(1)和(2)，可知不论有多少个都能全部倒下。,根据(1)和(2)，可知对所有的正整数n，猜想都成立。,一定能推出当n=k+1时猜想也成立,人体多米诺游戏原理,通过有限个步骤的推理，证n取所有正整数都成立,证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行,（1）证明当n取第一个

3、值n0(例如n0=1) 时命题成立; （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立. 根据由(1),(2)可知道，命题对从n0开始的所有正整数都成立。这种证明方法叫做数学归纳法,数学归纳法,【递推的依据】,【递推的基础】,证明:,命题成立。,（依据）,1,(1)当n=1时，,(2)假设当n=k 时，,命题成立,即,当n=k+1时，,既当n=k+1时，命题成立.,由(1)(2)知，,归纳递推,（结论）,1+3+5+(2n1)=n2 (nN*),证明：,例2：观察,归纳猜想：,你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。,n,n,（1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，,等式成立.,（2）假设n=k时等式成立，,即1+3+5+(2k1)=k2 ,则n=k+1时， 1+3+5+2(k+1)1,= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1,= k2+2k+1,=(k+1)2.,即n=k+1时等式也成立.,根据（1）,（2）知等式对一切nN*都成立.,135（2n1）,用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式

4、对任何都成立。,证明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么当n=k+1时,（2）假设当nk时，等式成立，即,（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。,（假设）,（利用假设）,注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,（凑结论）,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,假设与递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,用数学归纳法证明：,证明：,当n=k+1时,（2）假设当nk (kN*)时，等式成立，即,（1）当n=1时，,(nN*),左边=,等比数列求和！,=右边，,即当n=k+1时等式也成立。,根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。,错解！,错因:没有用到假设！,左边1，,右边1，,等式成立。,思考2：试问等式2+4+6+2nn2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解:设nk时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3

5、左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nN*都成立，为时尚早,练习1：用数学归纳法证明： 122334n(n1) ,从n=k到n=k+1有什么变化,利用假设,凑结论,证明:,2)假设n=k时命题成立,即 122334k(k+1),=, n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。,1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立,练习2 用数学归纳法证明,证明：（1）当n=1时，左边121，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,课堂小结,布置作业：,1.数学归纳法能够解决哪一类问题？,用于证明某些与正整数有关的数学命题。,2.数学归纳法证明命题的步骤？,(1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确；,(2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个值时结论也正确.,3.数学归纳法证明命题的关键？,在第二步推导中归纳假设要用到。,4.数学归纳法体现的核心思想？,递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。,再见,

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