史济怀复变函数答案

1、第一章 复数与复变函数第一章 复数与复变函数 1.1 习题 1.1 习题 2设 12 ,., n z zz是任意 n 个复数，证明： 11 | nn kk kk zz = ，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是 12 ,., n z zz线性相关）. 3证明： 1 (ReIm)ReIm. 2 zzzzz+ 证明： 设zaib=+， 则Reza=，Im zb=， 22 |zab=+.由题2知，zabiab+=+ 故 2222 2222 22 2 ()| 22222 abaabbab abab abz + + =+=， 即有 1 (ReIm)ReIm. 2 zzzzz+ 4若 12 |,0zz=，证明： 2 1212 |zzzz=. 证明：不妨设 22 2 2121 0.zzzz= 则 22 22 212122121112 zzzz zzz zzzzz= 即有 2 1212 |zzzz=成立. 5设|a|） 7设 12 ,., n z zz， 12 ,., n 是任意 2n 个复数，证明复数形式的 Lagrange 等式： 2 22 2 1111

2、 ()(), nnn kj jjjjjk jjjj k n zzzz = = 21 0, 11 zz kz kk =+ + 12 (0,1),(1),() 1 k zzz k =+= + . 6 图 1.5 是三个边长为 1 的正方形，证明： 2 AODBODCOD +=. E A B C OD 解：以 O 为原点，OD 为 X 轴，OE 为 Y 轴，建立坐标系.设 123 ,OAz OBz OCz = 则 123 1,2,3zi zi zi= +=+=+， 从而 1 23 arg()arg(1)(2)(3)arg(10 )z z ziiii=+= . P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 因为 i 是单位向量，它的辐角为 2 ，即 2 AODBODCOD +=. 10证明： 222 2 121212 2(| ),zzzzzz+=+并说明等式的几何意义. 证明： 222222 121211 2211 22 |2Re|2Re|zzzzzz zzzz zz+=+ 22 12 2(| )zz=+ 几何意义是：平行四边形两对角线长的平

3、方和等于它的各边长的平方和. 11设 1,.,n zz是单位圆周（以原点为中心、半径为 1 的圆周） 上的 n 个点，如果 1,.,n zz是 正 n 边形的 n 个顶点，证明： 1 n k k z = =0. 证明：记 12 . n zzzC =+，设该正 n 边形的一个圆心角为，0时，L 是一圆周. 并求出该圆周的圆心和半径. 证明： （i）令 2 2d=，则2d=，故原方程为()()0zz+=，即 Re()0z+=，即z+与垂直，从而轨迹是一条通过点，与垂直的直线. （ii）记 2 2 0ad=，则 2 ad=， 原式 2 222 0()()a zza za zadazazaz+=+=+= 即证之. 1.31.3 习题习题 1. 证明：在复数的球面表示下，z 和 1 z 的球面像关于复平面对称. P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 证明：设zxiy=+其球面对应的坐标为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz + = + . 而 1 z 球面像对应的坐标为 1122 2 11 11 1

4、1 zzzz zz xx z z z + + = + + + , 22 2 22 11 1(1) (1) (1) zzzz zz xx iz iz i z = + + + , 2 2 2 33 222 1 1 1 1 11 1 1 z z z xx z z z = + + + , 从而有 112233 ,xx xx xx= ，故z和 1 z 的球面像关于复平面对称. 2. 证明：在复数的球面表示下，z和的球面像是直径对点当且仅当 z=-1. 证明：设zxiy=+，由1z = 得 11 , zz = = ， 由于z对应的球面像为 2 123 222 1 , 1(1)1 z zzzz xxx zizz + = + ， 对应的球面像为 123 ,xxx，计算可得： 11,2233 ,xx xxxx= = = ， 故 z 和的球面像是直径对点. 由球面表示的几何意义知，, z 位于通过竖坐标轴的平面与 xoy 平面交点上，从而, z 必与原点共线，则,0z = ，由 33 xx=，易知1 =. 3. 证明：在复数的球面表示下, C中的点 z 和的球面像间的距离为 ()() 22 2 11 z

5、zw + . 证明：设z和w的球面像的坐标为() 123 ,x xx和() 123 ,xxx， P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 则()()()() 222 1122331 12233 22xxxxxxx xx xx x+=+， 112233 x xx xx x+ ()() ()()()() ()() 22 2 2 11 11 zzzzz z + = + ()() ()() 222 2 2 112 11 zz z + = + 故 ()()()() 222 112233 ,d zxxxxxx =+ () ()() 1 12233 2 2 2 22 11 z x xx xx x z =+= + 4. 证明：在复数的球面表示下，若 ab cd 是二阶酉方阵，则 C的变换 w= azb czd + + 诱导 了球面绕球心的一个旋转. 证明：先证 () ()() 2 2 2 , 11 zw z wc d z w zw = + ，一定有(), azb awb dd z w czd cwd + = + . 而 ()() 2 2 2222

6、 22 ()det 11 ab azbawb zw czdcwdcd azbczdawbcwdazbawb czdcwd + + = + + + ， 由 ab cd 是二阶酉方阵知， ()() 22 2 det1,11|1, 11 abacabzz azbczdzzz cdcd bd =+=+ 类似的有 22 2 |1,awbcwdw+=+故 原式= ()() ()()()() 2 2 222 2 1111 adbczwzw zwzz = + ， P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 故(), azb awb dd z w czd cwd + = + 成立，从而诱导变换是一个等距. 又等距变换的行列式是 ab cd 的连续函数且只取1两个值，而二阶酉方阵全体是连通的， 从而行列式为常数. 取 ab cd = 10 01 ，此时诱导变换是恒等变换，行列式为 1，故此常数为 1，从而此等距 变换为旋转. 1.41.4 习题习题 1. 设 0 (,0z ，0 n z ，nN .证明：复数列 n z收敛到 0 z的充要条件是 0 li

7、m n n zz =和 0 limargarg n n zz =. 证明：因为 00 (,0,0, . .argzstz +， 由不等式 0000 | argarg nn zzzzzzz+即得充分性 由不等式 00 | n zzzz 及 0 000 argarg |2| sin 2 n n zz zzzzz + 并注意 0 argarg 222 n zz + C， :,01 k zzkiyy F =+C； 解：开集； (iv) G=B(0,1) 1 : 1 k k + 为自然数; 解：非开，非闭，非紧； (v) CB()R，; P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 解：紧集. 8. 设 D 是开集，FD是非空紧集，证明： （i）(),0;d FD (ii) ()() 12 1 0,., n nk k d FDFz zzFB zD = 对任意 ，即 n 1 (, ),)inf( ,)( ,) k k dB zDdDd FD = = 1.6 习题 1.6 习题 1.满足下列条件的点 z 所组成的点集是什么？如果是域， 说明它是单连

8、通域还是多连通域？ （i）Re1;z = 实部是 1 的直线， 不是域 (ii) Im5z 开弓形 单连通域 (vii) 1 2; 1 z z + 圆盘外无界闭区域 (viii) 0arg. 4 zi zi 0 ， 对 D 上任意的 1,2 z z，只要 12 2 ,zz0,有 22 22 ( ) p f z xy + = 2 p 2 ( ) p f z 2 ( )fz. 提示:= 22 22 xy + = 4 2 z z ,将( )f z写成 1 2 ( ) ( )f z f z , 利用 f z =0, f z =0, f z =f, f z =f,计算. 11.设 D 是域,(:D ,0f是非常数的全纯函数,则log( )f z和Arg ( )f z是 D 上的调 和函数,而( )f z不是 D 上的调和函数. 提示: 2 2 2 1 log( )log( )2log|( )| 2 f zf zf z z z = 2 1( ) ( ) 2 |( )| f z f z zf zz = 2 ( )( ) 2 |( )| f z fz zf z = ( ) 20 ( ) fz zf z = 2 arg( ) ( ) ( ) if z f z e f z =对 z 求偏导 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y P r o “ 试用版本创建 (arg( )f z z = 1 2i ( ) (

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