上海市长宁区、嘉定区2017届高三数学一模试卷 有答案

1、2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1设集合A=x|x2|1，xR，集合B=Z，则AB=2函数y=sin（x）（0）的最小正周期是，则=3设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为4若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=5已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种7若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270的扇形，则这个圆锥的体积为cm38若数列an的所有项都是正数，且+=n2+3n（nN*），则（）=9如图，在ABC中，B=45，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为10有以下命题：若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为0；若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；若函数f（x）存在反函数f1（x），且f1（x）与f（

2、x）不完全相同，则f（x）与f1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11设向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13“x2”是“x24”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14若无穷等差数列an的首项a10，公差d0，an的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值15给出下列命题：（1）存在实数使（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴（3）y=cos（cosx）（xR）的值域是cos1，1（4）若，都是第一象限角，且，则tantan其中正确命题的题号为（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）16如果对一切实数x、y，不等式cos2xasinx恒成立，则实数a的取值范围

3、是（）A（，B3，+）C2，2D3，3三、解答题（共5小题，满分76分）17如图，已知AB平面BCD，BCCD，AD与平面BCD所成的角为30，且AB=BC=2；（1）求三棱锥ABCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2（I）求角A的大小；（II） 若a=，b+c=3，求b和c的值19某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=；（2）设点P的横坐标为t，用t表示M、N两点坐标；将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值20已知函数f（x）=9x2a3x+3：（1）若a=1，x0，1时，求f（x）的值域；（2

4、）当x1，1时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：nm3；当h（a）的定义域为m，n时，其值域为m2，n2，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由21已知无穷数列an的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+11，其中a1，常数rN；（1）求证：an+2an是一个定值；（2）若数列an是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意nN*，都有an+T=an成立，则称an为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列an是各项均为有理数的等差数列，cn=23n1（nN*），问：数列cn中的所有项是否都是数列an中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1设集合A=x|x2|1，xR，集合B=Z，则AB=2【考点】交集及其运算【分析】利用交集定义求解【解答】解：|x2|1，即1x21，解得1x3，即A=（1，3），集合B=Z，则AB=2，故答案为：22函数y=sin（x）（0）

5、的最小正周期是，则=2【考点】正弦函数的图象【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值【解答】解：y=sin（x）（0），T=，=2故答案是：23设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出【解答】解：复数=对应的点到原点的距离=故答案为：4若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3【考点】反函数【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），4=log2（1+1）+a4=1+a，a=3故答案为：35已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6【考点】二项式系数的性质【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展

6、开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6故答案：66甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】间接法：先求所有两人各选修2门的种数，再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案【解答】解：根据题意，采用间接法：由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有1001030=60种故答案为607若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270的扇形，则这个圆锥的体积为cm3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2r=2，解得r=故圆锥的高h=，圆锥的体积V=r2h=cm3故答案为：8若数列an的所有项都是正数，且+=n2+3n（nN*），则（）=2【考点】数列的求和；极限及其运算【分析】利用数列递推关系

7、可得an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出【解答】解：+=n2+3n（nN*），n=1时， =4，解得a1=16n2时，且+=（n1）2+3（n1），可得： =2n+2，an=4（n+1）2=4（n+1）（）=2故答案为：29如图，在ABC中，B=45，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为【考点】余弦定理【分析】先根据余弦定理求出ADC的值，即可得到ADB的值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cosADC=，ADC=120，ADB=60在ABD中，AD=5，B=45，ADB=60，由正弦定理得，AB=故答案为：10有以下命题：若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为0；若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；若函数f（x）存在反函数f1（x），且f1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要

8、条件的判断【分析】函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0利用偶函数的定义和性质判断利用单调函数的定义进行判断利用反函数的性质进行判断【解答】解：若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是0，所以正确若函数为偶函数，则f（x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以正确因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以错误原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=与其反函数y=x21（x0）的交点坐标有（1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以错误故答案为：11设向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8【考点】基本不等式【分析】A、B、C三点共线，则=，化简可得2a+b=1根据 +=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，=（a1，1），=（b1，2），A、B、C三点共线，=，解得2a+b=1，+=（+）（2a+b）=2+2+4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm【考点】多面体和旋转体表面

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