安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试卷（理）附答案解析

1、安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题（理）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则复数的虚部为( ).A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。2.集合，则=( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】解得集合，所以，故选C。3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( ).A. 63B. 47C. 23D. 7【答案】C【解析】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件 ,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。故选C。4.已知正项等差数列的前项和为()，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。5.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的( ).A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在单调

2、递增,得到,故可以推出.举特殊例子,但是,故由无法得到,故是的充分不必要条件,故选A.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】A选项，可知90后占了56%，故正确；B选项，技术所占比例为39.65%,故正确；C选项，可知90后明显比80多前，故正确；D选项，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故错误。故选D。7.平面外有两条直线，它们在平面内的射影分别是直线，则下列命题正确的是( ).A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若和相交，则和相交或异面【答案】D【解析】A选项，若，则m不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选

3、项，若，则a不一定垂直b，可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平行n，则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确。故选D。8.若展开式的常数项为60，则值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为展开式的通项为，令，则，所以常数项为，即，所以.故选D9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到三棱锥P-ABC即为该几何体，结合题意可知AB=4，AC=2，高h为2，故体积为，故选C。10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A.

4、B. C. D. 【答案】C【解析】分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为，第二种情况对应概率为，所以概率为，故选C。11.设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，则双曲线的离心率为( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】结合题意可知,设则结合双曲线的性质可得,代入,解得,所以,对三角形运用余弦定理,得到,解得故选B.12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】计算导数得到，结合构造新函数得到要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而 ，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设满足约束条件，则的取值范围为_.【答案】【解析】结合不等式组,绘制可行域,得到转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到A点,z取到最小

5、值，为-1，运动到C点，z取最大值，为-6，故z的范围为14.若非零向量满足，则_.【答案】1【解析】结合可知，得到15.在锐角中，则中线AD长的取值范围是_.【答案】【解析】设，对运用正弦定理，得到，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，所以，结合bc的范围，代入，得到的范围为16.在平面直角坐标系中，点()()，记的面积为，则_.【答案】【解析】结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到,两式子相减,得到,解得.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数.()求函数的最小正周期； ()若，求.解：()，函数的最小正周期为. ()由可得，.，.又，.18.在四棱锥中，.()若点为的中点，求证：平面；()当平面平面时，求二面角的余弦值. ()证明：取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.，.又平面，平面，平面.为的中点，为的中点，.又平面，平面，平面.，平面平面.平面，平面. () 解：连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.平面平面，平面，.以为坐标原点，的方向为轴正方向

6、，建立空间直角坐标系.则(0，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，.令，得，.设二面角的大小为，则. 19.每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：()求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；()由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.若随机变量服从正态分布，则，.解：()； ()由题意得，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间的人数约为(人)；20.设椭圆()的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为()求椭圆的方程；()设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由

7、.解：()设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，椭圆的方程可设为.易求得，点在椭圆上，解得，椭圆的方程为. ()当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由()知，.当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，即.联立直线和椭圆的方程得，得.，.综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.在中，由与相似得，为定值.21.已知函数(为自然对数的底数).()求函数的单调区间；()若，试求函数极小值的最大值.解：()易知，且.令，则，函数在上单调递增，且.可知，当时，单调递减；当时，单调递增.函数的单调递减区间是，单调递增区间是. ()，.由()知，在上单调递增，当时，；当时，则有唯一解.可知，当时，单调递减；当时，单调递增，函数在处取得极小值，且满足.令，则.可知，当时，单调递增；当时，单调递减，.函数极小值的最大值为1.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求，交点的直角坐标；（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.解：()，.联立方程组得，解得，所求交点的坐标为，.()设，则.的面积当时，.23.设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）设，若的最小值为，求的值.解：()，即 或 ，实数的取值范围是. ()，易知函数在时单调递减，在时单调递增，.，解得. 16

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