社会统计学(卢淑华),第六章

1、第六章 参数估计,第一节 统计推论,一、统计推论：根据局部资料对总体特征进行推断,特点：,1、局部资料的特性在某种程度上能反映总体的特征 2、抽样结果不能恰好等于总体的结果,二、理论基础：概率论 三、内容：,1、通过样本对总体的未知参数进行估计（参数估计） 2、通过样本对总体的某种假设进行检验（假设检验）,第二节 名词解释,1、总体：研究的全体,2、样本与简单随机样本：,从总体中按一定方式抽出的一部分叫样本。要求 抽样的数据不但是随机变量而且相互独立，遵从 同一分布，那么，这种样本就叫简单随机样本。,简单随机样本有3种情况,3、统计量：根据样本数据计算的统计指标称统计,量。,i 1,3）样本成数,1 n n i 1,n,xi x 2,2）样本方差 S 2 ,1 n 1,P m n,用样本均值：x xi,用样本方差： ,1,第三节 参数的点估计, ,作为 的点估计值,一、总体参数（均值与方差）的点估计公式 1、总体均值的点估计值 1 n n i 1 2、总体方差的点估计值,xi x 2,2,n n 1 i 1,S 2,用标准差： S , x,3、总体成数的点估计值,用样本成数：,表示在样

2、本n次观测中，A类共出,现m次。,i, m,n i 1,m n,p ,1 n n i 1 xi, ,例： 5位被调查者的月收入： A 500 B 510 C 490 D 520 E 480 求总体均值、方差的点估计值, ,x 的方差：Dx , 2,样本方差 S 2 的方差 ：DS n 2 1,二、评价估计值的标准, ,1、无偏性：x 的均值等于待估参数 如果 Q 是总体参数Q的估计值，且Q 分布的均值有 E Q Q，则 称 Q 是Q的无偏估计。 2、有效性： 1）方法：如果两个估计值Q1 x1 x2 xn 及 Q 2 x1 x2 xn ，它们 都满足无偏性，那么当 Q1 的方差比 Q 2 的方差小时，则Q1 较 Q 2 更 有效。 2）增加样本容量可以有效的增加一次抽样接近待估参数的概率。 样本均值 n 2 4, ,3、一致性： 一个数的估计值要求随样本容量n的增大而以较 大的概率去接近被估计参数的值。 把样本容量为n时的估计值记作 Q n ，如果 n 时，Q n 按概率收敛于总体参数Q，即对于任何正 数 ，有： lim P Q Q 1 n 则称 Q n 是Q的一致估计值。,2、总体为

3、正态分布 N , ，但方差为未知，统计量 s,第四节 抽样分布, ,已不再服从正态分布，而是服从自由度k=n-1的t分布。, ,一、例 二、样本均值的分布 1、总体分布为正态分布 N , 2 ，且方差已知，样本均值自 然服从正态分布。 x 2 n,3、任意总体，大样本情况，根据中心极限定理，在大样本 情况下，x 的分布接近于正态分布。 结论：在社会现象的研究中，只要n足够大，x 的分布将确 定它为一个近似的正态分布。,一般情况下 S 分布很复杂，它的精确分布,2,2 不一定能求出来。要知道它的大致形状， 可通过计算机模拟的方法，从总体中随机 抽取相当数目的样本，并作出样本方差的 频率直方图。, , 置信区间（反映估计的准确性）,Q,第五节 正态总体的区间估计, ,一、置信度、置信区间 如果用Q x1 x2 xn 作为未知参数Q的估计值，那么区间 包含参数Q之概率为1 的关系表达式为 Q 1 置信度（置信概率）（置信区间估计的可靠性） 显著性水平（置信区间不可靠的概率） 置信区间与置信度的关系： 在样本容量一定的情况下，置信区间和置信度是相互制约 的。置信度愈大，则相应的置信区间也愈宽。

4、,1、 为已知,P x , 1 ,二、正态总体均值的区间估计, ,即:,2,x n,N 0,1,以下统计量满足正态分布 Z 对于 的双侧置信区间有 P Z 2 Z Z 2 1 , , 2, 2, n , x , n,z,z,练习,例：某地月收入状况服从正态分布，根据 64人的抽样，其平均收入为800元，求置 信度为0.95时的 的双侧置信区间。,2、 为未知时,当总体满足正态分布，但 未知的情况,P x t 2, 1 , , ,2 2 下，以下统计量满足自由度k=n-1的t分布。,x s n,t ,t n 1, t 2 1 , 的双侧置信区间有：pt 代入：, ,s n , x t 2,s n,如果 未知，x 800,接上例,抽样人数为20，求置信区间。,2,s 10, 0.05,x n 1,由度k=n-1的 x 分布：,S,对于给定置信度 1 ，双侧区间 x 的临界,p x1 x x 1 ,x, ,x,三、正态总体方差的区间估计, ,对于正态总体 N , 2 ，以下统计量满足自 2 n 1 2 2 2 2 值应满足： 2 2 2 2 2 , 1 ,2,2,2,n 1 s 2 1 2,

5、n 1 s 2 2,整理： p ,求 的置信区间。（ 0.05 ）,接上例：, ,抽样10户，收入状况如下： 790 800 810 820 780 760 840 800 750 850 2, x z, 1 ,p x z,第六节 大样本区间估计,一、大样本总体均值, ,的区间估计, s s 2 n 2 n 为总体标准差，当 为未知情况下，可 用样本标准差代替总体标准差。 n为样本容量 n 50 z2 为正态分布双侧区间的分位点。,二、总体成数（二项总体参数）的估计, ,为总体中A成数P的点估计值。,（一）总体成数P的点估计 如果在样本容量为n的简单随机抽样中，对 于所要研究的A共出现m次，则样本成数 P,m n,p ,E p p,pq n,D p ,p p z p p p z p 1 ,z 为正态分布双侧区间的分位点, , ,（二）大样本总体成数p的区间估计 区间估计公式： 2 2 ,p, p,p1 p n,总体成数p的点估计值 ,当p未知情况下，用 p 代替 p p 2,x x 1 s1 2 s2,2,2,2,2,n,n,区间： x x z,x x , x x z x x , ,z 为正态分布双侧区间的分位点,三、大样本二总体均值差的区间估计, ,2 2,1、样本均值差为：x1 x2 1 2 作为总体均值差 1 2 的点估计值。 2、区间估计： px1 x2 z x1 x2 1 2 x1 x2 z x1 x2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2,1、样本成数差 p p 为总体成数差 p p 的,z 为正态分布双侧区间的分位点,p p1 p2 , , ,p1 p2 1 2 , p p 1 ,2 , , p1 p2 ,四、大样本二总体成数差的区间估计, ,点估计值。 2、区间估计,2, ,1 2 1 2, , ,1,2,2, p p , p p2 1,z,z, ,p1 1 p1 p2 1 p2 n1 n2, , , p1 p1,2, p2 p,

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