三角函数的性质及三角恒等变换

1、三角函数的性质及三角恒等变换温州中学叶昭蓉概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。【考点梳理】一、考试内容1.角的概念的推广，弧度制。2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(x+)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。二、考试要求1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确地运

2、用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(x+)的简图，理解A、的物理意义。6.会由已知三角函数值求角，并会用符号表示。7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。（2005年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”）三、知识网络：【命题研究】分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，浙江省2004年高考试题这部分内容有17分，占总分11.3%。试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求植，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题。数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。如：福建卷的第17题设函数；（2）若函数的图

3、象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值。此题“重视知识拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇。高考试题联系现行新教材，如全国（2）卷中的第17题：已知锐角三角形中，（1）求证：；（2）设，求边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：已知，求的值。【复习策略】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三

4、角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。（3）降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。第一课时【典型例题分析与解答】例1、 分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少； （3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少。 观察欲化简的式

5、子发现： （1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有、2、2，（需要把2化为，2化为）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一： 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 注在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。例2、已知函数的图像过点，且b0，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得，所以；(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。注本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（） 分析一：由方程形式

6、，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下： 分析二： 解法如下： 注换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。思维能力训练：1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 2、下列函数中，以为周期的函数是（ ） A. B. C. D. 3、已知是第三象限的角，若等于（ ） A. B. C. D. 4、已知，则以下选项正确的是（）A.B. C. D. 5、函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则的一个值是（ ）A、 B、 C、 D、6、如图，半径为2的M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB。旋转过程中，OC交M于P，记PMO为x，弓形PnO的面积为，那么的图象是（ ）A、 B、 C、 D、7、。8、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；，则其中所有正确结论的序

7、号是。9、已知函数，(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；(2)判断函数奇偶性。10、（1）已知：，求证：；（2）已知：，求：的值。11、已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。第二课时【典型例题分析与解答】例1、已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因为所以又因为，所以，即；(2) ，又因为，所以 ，所以，所以点评本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一例2、已知向量，向量与向量的夹角为，且，（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。解：（1）设，由，有向量与向量的夹角为，有，则由、解得：（2）由与垂直知，由若，则，例3如图，某园林单位准备绿

8、化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC=，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a，表示S1和S2；（）当a固定，变化时，求取最小值时的角解：（1）设正方形边长为，则（2）当固定，变化时，令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。o注三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。思维能力训练：1、 （）A.2B.C.4D. 2、 给出下列的命题中，其中正确的个数是（）（1） 存在实数，使sincos=1；（2） 存在实数，使sin+cos=；（3） 是偶函数；（4） 若、是第象限角，且，则tgtg（5） 在ABC中AB是sjnAsinB的充要条件。A.1B.2C.3D.43、函数的值域为（ ）A. B. C. D. 4、函数在下面哪个区间内是增函数（）A.B.C.D. 5、若点P在第一象限，则在，2内的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6、定义在R上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为（）A.B. C. D. 7、给出问题：已知中，满足，试判定的形状，某学生的解答如下：由条件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确

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