三大统计分布
14页1、,6.2 三大统计分布,本节介绍数理统计中的三个著名分布,它们在参数估计和假设检验等统计推断问题中有广泛应用. 一、X平方-分布 定义6.1 设随机变量 独立且服从相同分布 ,则称 (6-8) 所服从的分布是自由度为n的 -分布,记为 ,称 为 -变量. 为纪念英国著名统计学家皮尔(K.Pearson,1857-1936),- 分布也称为皮尔逊 -分布. 这是数理统计中一个十分重要的概率分布. 根据独立随机变量和的密度公式(3-27)和数学归纳法,可以证明: -分布的概率密度函数为(详见5) ,(6-9) 其中 是 -函数,定义见第四章附录2 图6.1是 -变量的概率密度函数(6-9)在几种不同参数下的图像.,特别地,当 时, 服从参数 的指数分布. 此外, -分布具有以下性质: (1)数字特征. 若 ,则 , . (2)可加性. 若 且 与 独立,则 . (6-10),为便于今后的应用,现在我们引入上侧分位数的概念. 所谓一个分布的 -上侧分位数就是指这样一个数,它使相应分布的随机变量不小于该数的概率为 . 比如,若记 -变量 的 -上侧分位数为,则满足(见图6.2).,对不太大的n
2、,如 60,可用附表3查 的值,而对较大的n,则可用(6-11)近似计算 , (6-12) 其中 是标准正态分布 的 -上侧分位数,可通过附表2查出.,二、t -分布,定义6.2 设 , ,X与Y独立,则称 (6-13) 所服从的分布是自由度为n的t-分布,记作 . t -分布也称为学生分布,是英国统计学家戈塞特(Goset,1876-1937)在1908年“Student”的笔名首次发表的,这个分布在数理统计中也占有重要的地位. 根据独立随机变量商的密度公式(3-32),可以证明(过程从略):(6-13)中的 概率密度函数为,根据独立随机变量商的密度公式(3-32),可以证明(过程从略):(6-13)中 的概率密度函数为 , . (6-14) 另外,t -分布具有以下性质: (1)(近似标准正态) 当 时, 这就是说,当n充分大时,t -分布 近似于标准正态分布 ,但如果n较小,这两个分布的差别还是比较大的,见图6.3,,其中粗虚线是 的密度函数 . 我们看到,所有的t -分布密度函数值在 附近均未超过的值,而在两边的尾部均超过 了的值. 这就是统计学中所谓的“重尾”(Heavy T
3、rails)现象.,(2)(数字特征)若 , ,则 顺便指出,自由度为1的t -分布也称为柯西(Cauchy)分布,它以其数学期望和方差均不存在而闻名(见例4.3). 记t -分布 的 -上侧分位数为 ,附表4给出了不同n和 所对应的 数值. 另外,由性质(1)知,对较大的n(比如 60) ,可用下式近似 . (6-15),三、F -分布,定义6.3 设 且X与Y独立,则称 (6-16) 所服从的分布是自由度为 的F-分布,记作 ,这是为纪念英国著名统计学家费歇(R.A. Fisher,1890-1962)而命名的F-分布也是数理统计的一个重要分布. 注意到(6-16)的商结构,则根据随机变量商的密度计算公式(3-34)可求得F-分布 的概率密度函数为(过程从略,详见3, 4), (6-17) 图6.4是四组不同参数下该密度函数的图像.,另外,由定义6.3,立即有以下结论: 若 ,则 . 这个结论可用于计算分布 的 -上侧分位数 . 具体地说,我们有 . (6-18) 事实上,由 、 以及上侧分位数的定义可推出,故(6-18)式成立. 对较小的 (如0.1、0.05、0.025等), 的数值可由附表5查得. 但附表5并未给出较大时的数值,此时,可用公式(6-18)求出 .,
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