三次函数性质总结
15页1、 三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数,知道图象是单调递增或单调递减,在整个定义域上不存在最大值与最小值,在某一区间取得最大值与最小值那么,是什么决定函数的单调性呢?利用已学过的知识得出:当k0时函数单调递增;当k0a0000图象x1x2xx0xx1x2xx0x 2极值点的个数:若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),称点x0为极大值点(或极小值点)。(1)若,此时函数无极值;三次函数在上不存在极值点。(2)若,三次函数在上的极值点要么有两个。且两根为且, 此时函数在处取极大值,简言之:波峰是为极大值 在处取极小值,简言之:波谷是为极小值论证如下:令f(x)=3ax2+2bx+c,y=f(x)的极值点就是方程 f/(x)=0的实根。当=4b2-12ac0时,方程f/(x)=0有两个不等的实根,记为x1、x2, 则x1、x2是f(x)在(-,+)上的两个极值点;当=4b2-12ac =0时,该方程有两个等根:x1=x2=x0,由下表可知y=f(x)在(-,+)上单调增, 此时y=f(x)没有极值点;
2、 x (-,x0) x0(x0,+) f/(x) + 0 + f(x) 当=4b2-12ac0时,f/(x)=0无实根,f(x)没有极值点,结论得证。 3.奇偶性:函数当且仅当时是奇函数。4对称性:函数图象关于点中心对称(了解)证明:三次函数关于点(m,n)对称的充要条件是,即+,整理得,据多项式恒等对应系数相等,可得且=,从而三次函数是中心对称曲线,且对称中心是; 证明:设函数的对称中心为(m,n)。按向量将函数的图象平移,则所得函数是奇函数,所以化简得:上式对恒成立,故,得,。所以,函数的对称中心是()。实际上:其导函数为 对称轴为,所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴,可见,yf(x)图象的对称中心在导函数y的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点。由上又可得以下结论:是可导函数,若的图象关于点对称,则图象关于直线对称.证明 的图象关于对称,则 图象关于直线对称. 若图象关于直线对称,则图象关于点对称.证明 图象关于直线对称,则, , 图象关于点对称.这是因为:奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数系列探究3:三次函数f(x)
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