热力学与统计物理课后答案第八章(汪志诚)

1、147 第八章玻色统计和费米统计 8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 ln .Sk = 解: 对于理想费米系统，与分布 l a相应的系统的微观状态数为（式 （6.5.4） ） () ! , ! l l lll aa = （1） 取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7） ） ()()lnlnlnln. llllllll l aaaa= （2） 另一方面，根据式（8.1.10） ，理想费米系统的熵为 () lnlnln ln Sk kNU = =+ ()ln, ll l ka =+ （3） 其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13） ） () lnln 1. l l l e =+ （4） 由费米分布 e1 l l l a + = + 易得 148 1e l l ll a += （5） 和 ln. ll l l a a +=（6） 将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为 lnln. l l l ll a = （7） 将式（6）和式（7）代入式（3） ，有 lnln lll ll l lll a Ska aa =+ ()()lnlnln. llllll

2、ll l kaaaa= （8） 比较式（8）和式（2） ，知 ln.Sk=（9） 对于理想玻色系统，证明是类似的. 8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 ()() ()() B.E. F.D. ln1ln 1, ln1ln 1, ssss s ssss s Skffff Skffff =+ = + 其中 s f为量子态s上的平均粒子数. s 表示对粒子的所有量子态求和. 同时 证明，当1 s f，则在 z kT的情形下，原子z方向的运动将冻结在基态作零点振 动，于是形成二维原子气体. 与 8.5 题相似，在 c TT，即 3 1n的情形下，气体形成强简 并的费米气体. 3 2 2 3 , 2 h nn mkT = （1） 将 283 300,6 10mTKn =代入，得 33 101,n（2） 说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体. 将 203 300K,10mTn =代 入，得 35 101,n （1） 其中 F p是费米动量，即 0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为 F F 34 F3 0 F 23 F 3 0 81 d 3 4 . 81 4 d 3

3、 p p V ppp h pp V ppp h = （2） 因此电子的平均速率为 162 F F 33 . 44 pp mm =（3） 8.15试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为 1 , 4 n= 其中 N n V =是电子的数密度，是平均速率. 解: 绝对零度下电子速率分布为 F F 1, 0, f f = = （1） 式中 F 是 0 K 时电子的最大速率，即费米速率. 单位体积中速率在dd d 间 隔的电子数为 () 3 2 F 3 2 sin d d d. m h （2） 单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z轴的单位面积器壁上的碰撞数 为 3 2 3 2 cossin d d d . m d h =（3） 将上式积分，从 0 到 F, 从 0 到 , 2 从 0 到2， 得 0 K 时电子气体的碰壁数 为 F 3 2 3 2 3 000 3 4 F 3 2 dsincos dd 211 2 42 m h m h = = 3 4 F 3 . 2 m h =（4） 但由式（2）知单位体积内的电子数n为 163 F 3 2 2 3 000 3 3 F 3 2 dsin

4、dd 21 2 2 3 m h m h = = 3 3 F 3 8 . 3 m h =（5） 所以 F 31 . 4 44 n n= 最后一步用了 8.14 题式（3）. 8.16已知声速 S p a = （式（1.8.8） ） ，试证明在 0 K 理想费米气体中 F . 3 a= 解: 式（1.8.8）已给出声速a为 S p a = ，（1） 式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数. 根据能氏定理， 0 K 下物质系统 的熵是一个绝对常数，因此 0 K 下物理量的函数关系满足熵为不变的条件. 根据式（8.5.8）和（8.5.6） ，0 K 下理想费米气体的压强为 ( ) ()( ) 22 5 2 3 2 2 0 5 2 3 52 pn n m = = ()( ) 22 5 2 3 3 5 3 21 3. 52m m = （2） 故 () 222 2 F 3 2 21 3, 3 23 S pp n mmm = 即 164 FF . 33 p a m =（3） 8.17等温压缩系数 T 和绝热压缩系数 S 的定义分别为 1 T T p V = 和 1 . S S p V = 试证明，对于

5、 0 K 的理想费米气体，有 ( )( ) ( ) 31 00. 20 TS n = 解: 根据式（8.5.6）和（8.5.4） ，0 K 下理想费米气体的压强为 ( )() 5 22 3 2 3 22 03. 55 2 N pn mV = （1） 在温度保持为 0 K 的条件下，p对V的偏导数等于 () 22 2 3 2 2 3. 3 2 T pN VmV = 由式（A.5）知 () () 2 2 22 3 2 3 13 . 2 3 2 T T V V pp N N V mV = （2） 所以 0 K 下 () ( ) 5 22 3 2 3 1331 . 220 3 2 T T VV Vpn N mV = = （3） 根据能氏定理，T=0 的等温线与S=0 的等熵线是重合的，因此 0 K 下 . TS VV pp = 由此可知 165 ( ) 131 . 20 S S V Vpn = = （4） 式（4）也可以从另一角度理解. 式（2.2.14）和（2.2.12）给出 sV Tp C C =（5） 和 2 . pV T VT CC =（6） 由式（6）知，0 K 下 , pV CC=

6、 所以式（5）给出 0 K 下 . ST 8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、 内能 和简并压. 解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为 .cp= 根据习题 6.4 式（2） ，在体积V内，在到d+的能量范围内，极端相对论 粒子的量子态数为 ( ) () 2 3 8 dd . V D ch =（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题 6.4 式（2）的结 果乘以因子 2. 0 K 下自由电子气体的分布为 ( ) ( ) ( ) 1,0 ; 0,0 . f = （2） 费米能量( )0由下式确定： () ( ) () ( ) 0 23 33 0 881 d0 , 3 VV N chch = 故 166 ( ) 1 3 3 0. 8 n ch = （3） 0 K 下电子气体的内能为 ( ) ( ) () ( ) () ( ) 0 0 0 3 3 0 4 3 d 8 d 81 0 4 UD V ch V ch = = = ( ) 3 0 . 4 N=（4） 根据习题 7.2 式（4） ，电子气体的压强为 ( ) 11 0 . 34 U p

7、n V =（5） 8.19假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n试求 0 K 时二维电 子气体的费米能量、内能和简并压. 解: 根据 6.3 题式（4） ，在面积A内，在到d+的能量范围内，二维 自由电子的量子态数为 ( ) 2 4 dd . A Dm h =（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将 6.3 题式（4）的结果 乘以 2. 0 K 下自由电子的分布为 ( ) ( ) ( ) 1,0 ; 0,0 . f = （2） 费米能量( )0由下式确定： ( ) ( ) 0 22 0 44 d0 , AA Nmm hh = 即 ( ) 22 0. 44 hNh m Am =（3） 0 K 下二维自由电子气体的内能为 ( ) ( ) ( ) 0 2 22 0 44 d00 . 22 AA mN Um hh = （4） 167 仿照习题 7.1 可以证明， 对于二维的非相对论粒子， 气体压强与内能的关 系为 . U p A =（5） 因此 0 K 下二维自由电子气体的压强为 ( ) 1 0 . 2 pn=（6） 8.20已知 0 K 时铜中自由电子气体的化学势 ( )

8、07.04eV,= 试求 300 K 时的一级修正值. 解: 根据式（8.5.17） ，温度为T时金属中自由电子气体的化学势为 ( )( ) ( ) 2 2 01, 120 kT T = 300 K 下化学势( )T对( )0的一级修正为 ( ) ( )( ) 2 2 3 5 01.12 100 120 7.88 10 eV. kT = = 这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化 学势随温度升高而减小. 这一点可以从下图直接看出. 图中画出了在不同温 度下电子分布函数( )f 随的变化. 0 K 时电子占据了能量从零到( )0的每 一个量子态，而( )0的状态则全部未被占据，如图中的 0 T线所示. 温度升 高时热激发使一些电子从能量低于的状态跃迁到能量高于的状态. 温度 愈高，热激发的电子愈多，如图中的 1 T线和 2 T线所示() 12 .TT ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分. 令 , d,d,d, xxryyrzzr xryrzr nnn = = 式（2）可表达为 () () 3 ddd 1 . e1 xyz xyz r N + = + （3） 引入新的积分变量 xyz =+，可进一步将式（2）改写为 () () 3 1d dd, e1 xy r N = + （4） 式中被积函数只是变量的函数，与 x 和 y 无关. 对一定的，d x 和d y 的积 分等于以 x 轴、 y 轴和 xy +=三条直线为边界的

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