全国大学生数学建模竞赛2004优秀论文：c、d题

1、C题之一（全国一等奖）酒精在人体内的分布与排除优化模型桂林工学院，袁孟强，王哲，张莉指导教师：数模辅导组摘要：酒精进入机体后，随血液运输到各个器官和组织，不断的被吸收，分布，代谢，最终排除体外。为了研究酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，以及这些过程与人体反应的定量关系，本文建立了一个酒精在人体内的分布与排除优化模型，在药物动力学的一室模型的基础上，进行优化，改进，分别建立了酒精在人体内分布的房室模型和房室模型，以及酒精在人体内的静态排除模型和动态排除模型，导出模型的体液酒精浓度的状态函数，用常数交叉拟合方法，采用VB编写程序，得到两个重要系数和。根据此模型，计算的体液酒精浓度理论值与实验值十分相符，并很好地解释了给出的所有问题，得到一些有价值的结论。关键词：房室模型，排除模型，体液酒精浓度，动态和静态的转换酒精在人体内的分布与排除优化模型一、 问题的重述国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血

2、液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1） 酒是在很短时间内喝的；2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血

3、液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下(表1)：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、 模型假设1、 酒精的转移速率，及向体外排除的速率， 与该室的血酒浓度成正比。2、酒精的转移速率，及向体外的排除速率，与时间有关，与空间（人体的各个部分）无关。3、中心室与体外有酒精交换，及酒精从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。与转移和排除的数量相比，酒精的吸收可以忽略。三、模型建立与求解 房室模型（在短时间内喝下酒精量为）在短时间内喝下酒精量为，酒精进入胃，人体吸收酒精，然后排除出体外。吸收酒精的过程相当于酒精进入体液（中心室）的过程，全过程可以简化为下图：胃室中心室 排除体外建模过程： 短时间内进入胃的酒精；为胃室（吸收室）进入中心室的转移速率系数（由人体机能确定的常数）；是t时刻胃室的酒精；其微分方程为： （）是t时刻进入中心室的酒精，其微分方程为： （2） 酒精进入中心室的速率为： （3）将方程（1）的

4、解代入（3）得： （4）房室模型（在较长一段时间内喝酒）假设在较长的一段时间内喝下的酒是匀速进入胃室，则简化如下图： 常数 胃室排除中心室 建模过程：为酒精进入胃的速率： ,为喝酒时间。为酒精从中心室排除体内的速率为酒精进入中心室的速率为胃室进入中心室的转移速率（由人体机能确定的常数）为是酒从中心室向外排除的速率系数。是t时刻胃室的酒精，微分方程为： （5） （6） 是t时刻进入中心室的酒精 将方程（5）的解代入（6）得： （7） （8）静态排除模型与房室模型I配套的静态酒精排除模型中心室的血酒浓度；V人体体液量和人体血液量；酒精进入中心室的速率： 中心室的酒精量；微分方程为： （9）酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）由方程（9）得： （10）对应的通解为：微分方程的解为： 令 得：.根据参考数据表1，已知：短时间内进入胃的酒精,人体体液量V和一批实验数据（，）()。用交叉常数拟合原理在VB环境中编写程序，利用该程序算出两个重要系数和，给出模型的状态函数.若初始值设为，则动态排除模型与房室模型配套建立动态酒精排除模型.中心室的血酒浓度；V人体体液量和人体血液量；酒

5、精进入中心室的速率：中心室的酒精量；微分方程为： （11） （12）酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）.由方程（11）得： （13）对应的通解为：.将及代入得： （） （14）四、 酒过程的描述1、在短时间内喝下酒精量为用静态排除模型描述：. 2、在较长一段时间内喝酒用动态排除模型描述喝酒的过程，用静态排除模型描述酒后的过程.即先用状态函数描述喝酒的过程，然后用状态函数描述酒后的过程.3、天天喝下酒精量为用动态排除模型描述第一天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型描述酒后23小时内的的过程，用动态排除模型描述第二天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型描述第二天酒后23小时内的的过程，再用动态排除模型描述第三天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型描述第三天酒后23小时内的的过程 五、参数的选择一瓶啤酒的酒精量：.人体体液：速率系数： 两小时内慢慢喝下两瓶啤酒的输入率：六、拟合效果.中心室中酒精含量（毫克百毫升）浓度状态函数拟合效果图 效果图显示拟合程度极高，说明参数的选择与客观情况相符合.七、问题分析问题1的分析：大李在中午喝了一瓶啤酒下午6点检查时，利用静态

6、排除模型：由浓度状态函数在时的浓度：,可知大李此时符合新的驾车标准.紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家.检测时距晚饭喝的那瓶啤酒已过了八小时，其胃中酒精及体液中的酒精含量分别为：由浓度状态函数可知，检查时被定为饮酒驾车.之所以被定为饮酒驾车，关键是此时方程中的初始条件而不是第一次喝酒的.问题2的分析：在很短时间内喝了3瓶啤酒,问多长时间内驾车就会违反新的驾车标准. 根据静态排除模型：3瓶啤酒的酒精量：；浓度状态函数为 .代入数据得：. （15）若违反新的驾车标准,则：,根据人体体液酒精浓度曲线图可知，喝酒后约在t=0.07小时（42秒）与t=11.24小时之内驾车会违反新标准。将t=0.07，t=11.24分别代入方程（15）检验得出：通过验证，证明观测值基本接近实际值。问题3的分析：在较长一段时间（比如2小时）内喝3瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新标准.假设匀速喝酒，则此过程分两阶段：（1）在喝酒过程中，多少时间后驾车会违反新标准。（2）喝酒之后，多长时间内驾车会违反新标准。根据动态模型： （16） （1） 由人体体液酒精浓度曲线观测出：当t（）大

7、于0.62小时（约37.2分钟）时，体液酒精浓度大于毫克，把已知酒精数据，代入方程（15）检验得：通过数据验证，证明观测值基本接近实际值。 （2）由阶段（1）的已知数据算出，当t=2小时（即停止喝酒时）人体酒精为： 此时，根据胃里剩余的酒精方程：得出： 以2小时作为零时刻，设状态初始值为,则取，此时静态排除模型为：根据此模型，可得曲线：可观测出：当时，t(t2)的值约在11.67附近。再将t=11.67代入进行检测得： （毫克/百毫升）通过数据验证，证明观测值基本接近实际值。结论：若连续2小时均匀喝下3瓶啤酒，则在0.62与13.67小时之内驾车会违反新标准。问题4的分析： 估算出血液中酒精含量何时达到峰值。 最高值的估计要分两种情况讨论： 1、 据静态排除模型（一次喝完的情况） 酒精进入机体之前，胃里的酒精浓度为0，当喝酒后，胃里的酒精浓度逐渐增大，因为存在着酒精进入中心室的过程，根据人体机理可知，。当胃里的酒精浓度等于中心室的酒精浓度时，此时血液中酒精含量达到最高值。由静态排除模型得：若要使的值达到最高，则要求即：代入已知数据得：算出：t=1.36小时即：喝酒1.36小时后，血液中酒精含量最高。（1） 根据动态排除模型（酒是在很长一段时间内喝完） 喝酒时，由于酒量在不断的增加，根据人体机理可知，胃中的酒精浓度始终是大于中心室的酒精浓度，即，易知血液中的酒精浓度是一个递增的函数。那么在这阶段中，血液的酒精含量的最高值为停止喝酒时血液中的酒精含量。运用动态排除模型：可计算出最值。喝完酒后，胃中的酒精浓度仍然大于中心室的酒精浓度，此时，.随着时间的推移，胃中的酒精浓度在不断的减少，而血液的

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