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普通高等学校招生全国统一考试数学1985年文科数学

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常见问题

1、1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学一、本题每个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)设正方体ABCDABCD的棱长为a,那么三棱锥AABD的体积是(A)必要条件 (B)充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要的条件 (3)设集合X=0,1,2,4,5,7,Y=1,3,6,8,9,Z=3,7,8,那么集合(xY)Z是(A)0,1,2,6,8 (B)3,7,8(C)1,3,7,8 (D)1,3,6,7,8以为周期的偶函数?(A)y=x2 (xR) (B)y=sinx (xR)(C)y=cos2x (xR) (D)y=esin2x (xR)(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个 (B)78个(C)72个 (D)64个二、只要求直接写出结果.(2)求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率.(3)求函数y=-x2+4x-2在区间0,3上的最大值和最小值.(4)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4

2、+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.(5)设i是虚数单位,求(1+i)6的值.三、设 S1=12, S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,Sn=12+22+32+n2+32+22+12,.用数学归纳法证明:公式对所有的正整数n都成立. 四、证明三角恒等式五、(1)解方程lg(3-x)-lg(3+x)=lg(1-x)-lg(2x+1).(2)解不等式六、设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是,它的高是h.求这个三棱锥底面的内切圆半径.七、已知一个圆C:x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线l:3x-4y+5=0.求圆C关于直线l对称的圆的方程.1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）数学参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)C; (4)B; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(1)x-2x1x1x2;(2)2;(3)最大值是2,最小值是-2;(4)64(或26;(5)-8i.三、本题考查应用数学归纳法证明问题的能力.证明:因为Sn=12

3、+22+32+n2+32+22+12,即要证明12+22+32+n2+32+22+12()假设当n=k时,(A)式成立,即现设n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得12+22+k2+(k+1)2+k2+22+12即证得当n=k+1时(A)式也成立.根据()和(),(A)式对所有的正整数n都成立,即证得四、本题考查三角公式和证明三角恒等式的能力.证法一:左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos3x-3cosx)cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=右边.证法二:=右边.五、本题考查对数方程、无理不等式的解法以及分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得于是解这个方程,得到x1=0, x2=7.检验:把x=0代入原方程,左边=0=右边;故x=0是原方程的根.把x=7代入原方程,由于3-x0,1-xx2+2x+1,x24,即-2x2.但由条件x-1,因此-1x2也是原不等式的解.综合(i)

4、和(ii),得出原不等式的解集是六、本题考查三棱锥、二面角的概念,三垂线定理和解决空间图形问题的能力.解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O.再过O分别作AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,G.连接VE,VF,VG.根据三垂线定理知VEAB,VFBC,VGAC.因此VEO,VFO,VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,由已知条件得VEO=VFO=VGO=.在VOE和VOF中,由于VO平面ABC,所以VOOE,VOOF.又因VO=VO,VEO=VFO,于是VEOVFO.由此得到OE=OF.同理可证OE=OG.因此OE=OF=OG.又因OEAB,OFBC,OGAC,所以点O是ABC的内切圆的圆心.在直角三角形VEO中,VO=h,VEO=,因此OE=hctg.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hctg.七、本题考查直线和圆的基础知识和用解析法解决几何问题的能力.解法一:已知圆C的方程是x2+y2+4x-12y+39=0,它可写成(x+2)2+(y-6)2=1,因此它的圆心为P(-2,6),半径为1.即3a-4b-20=0. (1)又PPl,故有即4a+3b-10=0. (2)解(1),(2)所组成的方程组,得a=4,b=-2.由此,所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即x2+y2-8x+4y+19=0.解法二:设圆C上任一点(x,y)关于直线l的对称点为(x,y).则有由此可得因点(x,y)在圆C上,故有(x+2)2+(y-6)2=1,即有化简,得x2+y2-8x+4y+19=0,这就是所求圆的方程.八、本题考查数列和极限的基础知识以及分析问题的能力.解:当公比q满足0q1时,于是因此综合以上讨论得到- 10 -

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