平稳过程2-平稳过程的相关函数

1、第五章第五章 平稳过程平稳过程2 主讲人：李主讲人：李 伟伟 西安电子科技大学数学与统计学院西安电子科技大学数学与统计学院 2015年秋季年秋季 称定义在概率空间( , )F P 二阶矩的随机变量的全体所组成的集合 上的具有 2 HEXX 为二阶矩变量空间 ,H,X Y 若则对任意的复数a,b有 HaXbY 22 2 EEEXYXY Schwartz不等式不等式 1.(自自)相关函数的性质相关函数的性质 定理定理5.2.1 设X(t),tT是平稳过程,则其相关函数 有性质: 22 1212 (1)(0)( ) 0 (2)( )() (3)( )(0) (4)( )() 1, , , XX XX XX XX nn RE X tm RR RR RRts nt ttT 具有非负定性.即 对及复数有 0)( 11 klX n k n l lk ttR 证明证明(1)(0)E( ) ( ) X RX t X t 2 22 E( ) ( )0 XX D X t X t mm (2)( )E( ) () X RX t X t E() ( )() X RX tX t (3)( )E( ) () X R

2、X t X t 11 22 22 E( ) ()(E( ) ) (E() )X tXtXttX 11 22 (0(0)()(0) XXX RRR 1111 ()E( ) ( ) nnnn klXlkk k kll kll RX t X ttt 1212 1, , , nn nt ttT (4) 对及复数有 11 ( )( )E nn kkll kl X tX t 11 E( )( ) nn kkll kl X tX t 2 1 E( )0 n kk k X t (3) (0) ( ) ( )0;( )(0) XXX X X CC C DtC 协方差函数平稳过程的具有 (2) ()( ) XX RR 平稳过程的相关函数为偶函数 即实 (1) 若若X(t), tT是周期平稳过程是周期平稳过程, 即即 则其相关函数也是周期函数则其相关函数也是周期函数, 且周期相同也且周期相同也 为为T0. 00 ()( ),X tTX ttT T是一常数（称为周期） 特别特别 在工程实际的应用中，经常将相关函数标准化为在工程实际的应用中，经常将相关函数标准化为 相关系数相关系数 2 ( ) ( ) (0)

3、XX X X Rm r C 易知相关系数满足：易知相关系数满足： ( )1 X r 利用相关系数可以确定一个重要的临界值利用相关系数可以确定一个重要的临界值 相关时间相关时间 0 0 0 0 (1)r ( )0.05. (2)r ( ) X X d 相关时间 的计算： 满足的 X=X : tT cos(t) Y: tT, 0,2 X t t Y 5.2.1设实平稳随机信号 受到加性独立随机分量的 干扰后成为随机信号其中 为常数， 为上均匀分布的随机变量。 试分析平稳随机信号受干扰后是否具有 平稳性，并分析信号在干扰前后的相 例 关函 数的关系。 2 XY 00 :, 1sin ( ), 5. 4 (1)XY XY 2=XY 3=0 2 =Y .2 tt XY XXtTYYtT CeC 设平稳过程和 分别有协方差函数 试计算平稳过程和 的相关时间和， 并比较 和 随时间的变化情况； （ ） 当时间间隔时，分析 和 各自的相关性。 （ ）当时间间隔和，比较 的相 例 关程度。 补充补充1 1： 均方连续均方连续 设设X(t), tTT是二阶矩过程是二阶矩过程, , t0T, 若若 )(X)

4、(X. . 0 0 ttmi l tt 则称则称X(t), tT在在t0处均方连续处均方连续 若对任意的若对任意的tT, X(t),tT在在t处均方连续处均方连续, 则称则称 X(t), tT在在T上均方连续上均方连续. 或称或称 X(t), tT是是均方连续均方连续的的. 均方连续定义均方连续定义 定理定理5.2.2 设设X(t),tTT是平稳过程是平稳过程. .则则X(t),tT 均方均方 连连 续的充要条件续的充要条件是是 RX()在在=0处连续处连续. 证明证明 2 , E()( )()( )()( ) tT X tX tE X tX tX tX t (,)(, )( ,)( , ) XXXX RttRttRt tRt t (0)()( )(0)( ) XXXX RRRR 充分性充分性 ( )0( )(0)0 XXX RRR若在连续，即（） 2 E()( )00X tX t由得（ ） 由均方连续的定义X(t),tT均方连续均方连续. 必要性必要性 若若X(t),tT均方连续均方连续.则有则有 0( )(0)E( ) ()E( ) ( ) XX RRX t X tX t X t

5、E( ) ()( )X tX tX t E ( ) ()( )X tX tX t 11 22 22 (E( ) )()( ) )X tE X tX t 11 2 22 (R(0)(E()( ) ) X X tX t 0(0) ( )0 X R所 以在处 连 续 . X(t),tT均方连续均方连续 ( )0 X R在连续， X t( ),tT均方连续， 0 则对有 00 0( )()E( ) ()E( ) () XX RRX t X tX t X t 0 E( ) ()()X tX tX t 0 E ( ) ()()X tX tX t 11 22 22 0 (E( ) )()() )X tE X tX t 11 2 22 0 (R(0)(E()() ) X X tX t 0 0() ( ) X R 0 由的 任 意 性 ，是 连 续 函 数 . X(t), tT R ( ) =0 R ( ) X X 若平稳过程的相关函数推论：在 处连续，则是连续函数。 补充补充2：均方导数均方导数 均方导数的均方导数的定义定义 设设 ( ),X t tT是二阶矩过程是二阶矩过程， 0 ,tT若均方极限若

6、均方极限 00 0 ()( ) . . t X ttX t l i m t 存在存在,则称此极限为则称此极限为 ( ),X t tT在在t0点的均方导数点的均方导数. 0 ( )Xt或或 0 ( ) . t t dX t dt 这时称这时称 ( ),X t tT 在在t0处均方可导处均方可导 记为记为 类似类似 可以定义可以定义 ( ),X t tT的高阶导数过程即的高阶导数过程即 ( ) ( ), n XttT ( ),X t tT 的均方导数是一个新的过程的均方导数是一个新的过程. 记记 ( ),XttT称之为称之为 ( ),X t tT的的导数过程导数过程 此时此时 若若 ( ),X t tT在在T中的每一点中的每一点t处都均方可导处都均方可导，则称则称 ( ),X t tT在在T 上均方可导上均方可导. 或称或称 ( ),X t tT 是是均方可导的均方可导的. 均方可导准则均方可导准则 定义定义 设设f (s, t)是普通二元函数，称是普通二元函数，称f (s, t)在在(s, t)处广义处广义 二阶可导，如果下列极限存在二阶可导，如果下列极限存在 0 0 (,)(, )(

7、,)( , ) lim h k f sh tkf sh tf s tkf s t hk 并称此极限为并称此极限为f (s, t)在在(s, t)处的处的广义二阶导数广义二阶导数 2 (s,t)f s t 记作 1. 若二元函数的若二元函数的一阶偏导数存在一阶偏导数存在, 二阶混合二阶混合 偏导数存在且连续偏导数存在且连续, 则该二元函数一定是则该二元函数一定是广广 义二阶可导的。义二阶可导的。 2. 若一个二元函数广义二阶可导若一个二元函数广义二阶可导，则其，则其一阶一阶 偏导数存在偏导数存在, 二阶混合偏导数存在且相等二阶混合偏导数存在且相等. 针对二阶矩过程的相关函数针对二阶矩过程的相关函数RX(s, t)这个这个 二元函数有以下定理二元函数有以下定理: 有结论：有结论： 定理定理 设设 ( ),X t tT是二阶矩过程是二阶矩过程, 相关函数为相关函数为RX(s, t). 则则RX(s, t)广义二阶可导的充分条件是：广义二阶可导的充分条件是： RX(s, t)关于关于s 和和t 的的一阶偏导数存在一阶偏导数存在， 二阶二阶混混 合偏导数存在且连续合偏导数存在且连续； RX(s,

8、 t)广义二阶可导的必要条件广义二阶可导的必要条件是：是： RX(s, t)关于关于s 和和t 的的一阶偏导数存在一阶偏导数存在，二阶，二阶混合混合 偏导数存在且相等偏导数存在且相等 定理定理 (均方可导准则均方可导准则) 设设X(t), tT是二阶矩过程是二阶矩过程, t0T,T,则则X(t), tT在在t0处处 均方可导的充要条件是均方可导的充要条件是RX(s, t)在在(t0, t0)处广义二阶可导处广义二阶可导. 证明证明 X(t),tT在在t0处均方可导处均方可导 均方极限均方极限 00 0 ()( ) . . h X thX t l i m h 存在存在 由定义由定义 均方收敛准则均方收敛准则 存在存在. k )X(-)X()X(-)X( Elim 0000 0 0 tkt h tht k h 00000000 0 0 (,)(,)( ,)( ,) lim XXXX h k Rth tkRth tRt tkRt t hk 存在，即存在，即RX(s, t)在（在（t0, t0)处广义二阶可导处广义二阶可导 k )X(-)X()X(-)X( Elim 0000 0 0 tkt h tht k h 而 由以上定理可得到一些推论如下由以上定理可得到一些推论如下 推论推论1 设X(t),tT是二阶矩过程是二阶矩过程，则则X(t),tT 均方可导的充要条件是均方可导的充要条件是 对任意的对任意的tT, RX(s, t)在（在（t, t) 处广义二阶可导处广义二阶可导 推论推论2 设二阶矩过程设二阶矩过程X(t),tT均方可导均方可导.则则 (1)导数过程导数过程的均值函数等于原过程的均值函数等于原过程 ( ),X t tT均值函数的导数，即均值函数的导数，即 ( )( ),; XX mtmttT ( ),X t tT 0 ()( ) E . . h X

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