平面向量线性运算题库
16页1、平面向量复习一、基础知识(理解去记)定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行。定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法则,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0,使得a=定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x, y,使得c=xa+yb,其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x, y,使得c=xi+yi,则(x, y)叫做c坐标。定义4 向量的数量积,若非零向量a, b的夹角为,则a, b的
2、数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x1, y1), b=(x2, y2),1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2),2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac,3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数,使,叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则定义6 设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|,并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|
3、2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20,又|ab|0, |a|b|0,所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,xn),b=(y1, y2, , yn),同样有|ab|a|b|,化简即为柯西不等式: (x1y1+x2y2+xnyn)20,又|ab|0, |a|b|0,所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn),同样有|ab|a|b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+xnyn)2。2)对于任意n个向量,a1, a2, ,an,有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。平面向量线性运算题库一、 历年高考真题汇总2.(2010全国卷2理)(8)中,点在上,平分若,则(A) (B) (C) (D)【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.【解析】因为平
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