偏导与积分复习

1、2019/5/13,1,1. 极限,证明极限不存在的方法：路径法,求极限的方法（坐标变换法）,2. 连续,上页 下页 返回,有,3. 偏导数,第八章 多元函数微分法,2019/5/13,2,连续性,偏导数存在,方向导数存在(以后讲),可微性,偏导数连续,5. 微分,4. 偏导数计算：复合函数求偏导，隐函数求偏导， 及其高阶导数,2019/5/13,3,例1. 讨论二重极限,解法1,解法2 令,解法3 令,时, 下列算法是否正确?,上页 下页 返回,2019/5/13,4,分析:,解法1,解法2 令,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1 .,第二步,未考虑分母变化的所有情况,上页 下页 返回,2019/5/13,5,解法3 令,此法忽略了 的任意性,极限不存在 !,由以上分析可见, 三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .,特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.,同时还可看,到,本题极限实际上不存在 .,上页 下页 返回,2019/5/13,6,证:

2、 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,例2. 证明:,上页 下页 返回,2019/5/13,7,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,而当,上页 下页 返回,2019/5/13,8,( 有二阶连续偏导数), 求,例3,设,解,上页 下页 返回,2019/5/13,9,上页 下页 返回,2019/5/13,10,上页 下页 返回,例4,2019/5/13,11,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ）,例5. 设,上页 下页 返回,2019/5/13,12,设,则,两边对 x 求偏导,上页 下页 返回,例6. 设,2019/5/13,13,例7. 设,其中 f 与F分别具,解；方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(99 考研),上页 下页 返回,(用隐函数求导公式),2019/5/13,14,例8.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,上页 下页 返回,2019/5/13,15,6.几何应用,（1）空间曲线切线及法平面,上页 下页 返回,切向量,（2）曲面的切平面与法

3、线,2019/5/13,16,7.方向导数与梯度,（1）定义,上页 下页 返回,（2）公式,（3）梯度,2019/5/13,17,8.极值,（1） 无条件极值,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,（2） 条件极值,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,上页 下页 返回,2019/5/13,18,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),9. 最值,在条件,求驻点 .,上页 下页 返回,2019/5/13,19,例9.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,20,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例10. 函数,提示:,则,(96考研),目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,21,例

4、11 曲面,在任一点处的切平面( ).,则,故切平面的法向量为,A.垂直于一定直线; B.平行于一定平面;,C.与一坐标平面成定角; D.平行于一定直线.,所以,应选D.,解：设,又,故切平面平行于以,为方向向量的直线.,2019/5/13,22,例12.,求曲线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,解: 由于,对应的切向量为,在, 故,上页 下页 返回,时, x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 2. 又,2019/5/13,23,例13.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,24,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/13,25,例14.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结

5、为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,上页 下页 返回,2019/5/13,26,令,解此方程组得唯一驻点：,由实际意义最小值存在 ,故,上页 下页 返回,2019/5/13,27,第九章重积分,1. 二重积分,直角坐标系情形 :,若积分区域为 X 型,则,若积分区域为 Y 型,则,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,28,则,极坐标系情形: 若积分区域为,目录 上页 下页 返回,对称性,是关,则,对称性：,若区域 D 关于 y 轴对称 ,奇函数,那么,是关于 x 的,于 x 的偶函数，,若,2019/5/13,29,例1. 求,其中 D 是由直线,和 y 轴所围成的闭区域。,x,y,O,解：,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,30,其中,所以,例2 把积分,表为极坐标形式的二次积分,解 在极坐标下积分区域可表示为D D1 D2 D3,其中积分区域 D(x y)| x2 y 1 1 x 1,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,31,例3. 计算二重积分,其中:,D为圆域,解: 利用对称性.,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,32,其中,解：

6、,由于积分区域,关于,轴对称，被积函数,关于,是奇函数，所以,，,例4.,2019/5/13,33,下面计算,令,则区域,的极坐标表示为,故,2019/5/13,34,例5. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,35,例6. 设f ( x ) 为 a, b 上的正值连续函数，证明：,证：,其中,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,36,2.三重积分的计算及应用,目录 上页 下页 返回,3. 重积分应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,2. 物理方面,2019/5/13,37,例7. 把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,38,例8，计算,其中积分域,面,及平面,与,所围成的体域。,则的柱面坐标表示为：,于是，,解：由题意可知,是由曲,2019/5/13,39,例9.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定

7、义,得,其中,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,40,例10:计算,解: 的表达式中含 x2+y2+z2,令 x = r sin cos, y=r sin sin, z=r cos.,且两球面方程分别为r = b和r = a, (a b).,及平面z = 0围成.,可用球面坐标求积分.,则,2019/5/13,41,由的形状知,a r b, 0 , 0 2.,2019/5/13,42,例11.利用柱面坐标计算三重积分,其中,是由曲面,及,的体域。,而,关于,平面对称，x 是奇函数，故,关于,平面对称，y是奇函数，故,由,可得,解：,所围成,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,43,因此,在,面上的投影为,故,的柱面坐标表示为：,于是,故,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,44,根据对称性，则,其中,极坐标形式为,故,例12. 求球面,解：球面方程为,目录 上页 下页 返回,被圆柱面,所截得的那一部分的面积（指含在圆柱面内部）。,2019/5/13,45,第十章. 线积分,1.曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积

8、分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,目录 上页 下页 返回,2. 格林公式，曲线积分与路径无关的4个等价条件,2019/5/13,46,例1,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,47,例2. 计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,48,原点 O 的距离成正比,例3 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,(解见 P139 例5),目录 上页 下页 返回,2019/5/13,49,例4 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,注意：在曲线积分的计算中可以用曲线方程化简被积函数。,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,50,例5 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,51,例6 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,52,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,目录 上页 下页 返回,2019/5/13,53,思考题解答:,(1),(2),目录 上页 下页 返回,2019/5/13,54,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,例7.,目录 上页 下页 返回,

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