模糊数学第三章小结
26页1、1,第三章 模糊关系与模糊聚类分析 小结,3.1 模糊关系及其运算; 3.2 模糊等价关系及其性质; 3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析.,2,3.1 模糊关系及其运算 1, 设U, V 为两个论域, 若RF(UV),则称R为U到V的一个模糊关系. 对(u, v)UV , 称R(u, v)为u对v具有模糊关系R的相关程度. 特别地 (1) 称RF(UU) 为U上的模糊关系; (2) 若(u, v)UU,有 则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ; (3) 若(u, v)UV, 有R(u, v)=0,则称 R为U到V的零关系 ,这时记R = 0 ; (4) 若(u, v)UV,有R(u, v)=1, 则称R为全关系 ,这时记R = E .,目 录,3,2, 设U=u1,u2, , um, V=v1,v2, , vn, RF(UV), 则R可以用一个mn矩阵来表示,即R=(rij)mn ,其中 rij=R (ui, vj)(i=1,2,m ; j=1,2,n), 由于R (ui, vj) 0,1,故称R=(rij)mn为模糊矩阵 . 由于0,1 0,1, 故模糊矩阵是Boole
2、矩阵的推广.,4,3, 设R, Q 为U到V的两个模糊关系,则 (1) 称RQ为R与Q的并,其相关函数为 (RQ) (u, v) =R(u, v) Q(u, v) , (u, v)UV . (2) 称 RQ为R与Q的交,其相关函数为 (RQ) (u, v) =R(u, v) Q(u, v) , (u, v)UV . (3) 称R 为R的补,其相关函数为 R (u, v)=1R (u, v) , (u, v)UV .,目 录,5,(4) 称RTF(VU)为R的转置,其相关函数为 RT(v,u)= R(u, v) , (u, v)UV . (5) 对0,1,称 R = (u, v)UV | R(u, v) . 为R的 截关系 ;而称 RS = (u, v)UV | R(u, v) . 为R的 强截关系 . (6) 对0,1,称R为数与模糊关系R的模糊截积关系,其相关函数为 (R) (u, v) = R(u, v) , (u, v)UV .,6,4,定理3.1.1 设R,QF(UV), 则有 (1) (RT)T= R ; (2) (RQ)T= RTQT ; (RQ)T= RTQT ; (3)
3、 RQ RT QT ; (4) 0,1, (RT) = (R)T , (RT) S = (R S)T ; (5) (RT) = (R )T .,目 录,7,5, 设RF(UV), QF(VW), 则R, Q的合成,RQ F(UW), 定义为 RQ (u, w) =vV R (u, v) Q (v, w) . (1) 若RF(UU),则记R0=I , Rn=Rn-1 R (n=1,2,); (2) 若R=(rij)mn , Q=(qjk)nl,则RQ =(pik)ml , 其中 即pik为R中第i行的元素与Q中第j列的元素对应取小后再取大而得到.,目 录,8,6, 定理3.1.2 设P, Q, R为三个模糊关系,且可进行合成运算,则有 (1) 结合律: R ( Q P ) = ( R Q ) P (2) 分配律: ( RQ ) P = ( R P ) ( QP ) , P( RQ ) = (P R )(P Q ) ; (3) 单调性: RQ R P QP ,P R P Q, (4) ( RQ ) P ( R P ) ( QP ) , P( R Q ) (P R ) (P Q ) .,目
4、录,9,7,定理3.1.3 设RF(UV), QF(VW),则 (1) (R Q ) T= Q T R T ; (2) 若RF(UU),则(R n) T= (R T ) n , n N . 8,定理3.1.4 设RF(UV), QF(VW), 0,1, 则有 (1) ( R Q )S = RS QS ; (2) R Q ( R Q ) (3) 若V为有限论域,则( R Q ) = R Q. 9,定理3.1.5 设RF(UV), QF(VW), 则 R Q = 0,1 (R Q).,10,3.2 模糊等价关系及其性质 1, 设RF(UU), 则 (1) R称为自反的,如果I R ,即uU, R(u, u) =1; (2) 称包含R的最小的自反模糊关系为R的自反闭包,记作r(R). 2, 定理3.2.1 设RF(UU),则下列结论成立; (1)若R是自反的,则nN, Rn Rn+1 且Rn也是自反的; (2) R是自反的当且仅当0,1, R 是自反的; (3) r(R)= R I .,目 录,11,3, 设RF(UU),则 (1) R称为对称的,如果RT= R ; (2) 称包含R的最小的
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