流体力学 第3章

1、第3章 流体运动学,朗格朗日法是把流体的运动，看作是无数个质点运动的总和，以个别质点作为观察对象加以描述，将各个质点的运动汇总起来，就得到整个流动。,朗格朗日法为识别所指定的质点，用起始时刻的坐标（a、b、c）作为该质点的标志，其位移是起始坐标和时间变量的连续函数。,3.1 流体运动的描述,3.1.1 拉格朗日法,(3-1),式中 a、b、c、t称为拉格朗日变数。,当研究某一指定的流体质点时，起始坐标a、b、c是常数，上式为该质点的运动轨迹。,将式（3-1）对时间求一阶和二阶偏导数，在求导过程中a、b、c 视为常数，便得该质点的速度和加速度。,3.1 流体运动的描述,速度,(3-2),加速度,(3-3),3.1 流体运动的描述,3.1.2 欧拉法,欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动参数，即研究运动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从而得出整个流体的运动情况。,3.1 流体运动的描述,速度场,3.1 流体运动的描述,式中，空

2、间坐标x、y、z和时间变量t称为欧拉变数。,压强场,密度场,3.1 流体运动的描述,3.1.2 欧拉法,3.1.3 流体质点的加速度，质点导数,3.1 流体运动的描述,分量形式,(3-9),3.1 流体运动的描述,上式也可表示为,算子,式中 当地加速度（时变加速度，不稳定性引起）,迁移加速度（位变加速度，不均匀性引起）,当地加速度 为负值,迁移加速度 为正值,加速度,3.1 流体运动的描述,当地加速度,迁移加速度 为正值,加速度,3.1 流体运动的描述,当地加速度,迁移加速度,加速度,欧拉法描述流体运动，质点的物理量，不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的随体导数或质点导数。如物理量A =A(x，y，z，t)的随体导数,例如密度的随体导数,3.1 流体运动的描述,式中 和 分别称为物理量A的时变导数和位变导数。,3.2.1 流动的分类,1. 恒定流和非恒定流,以时间为标准，若各空间点上的流动参数皆不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒定流。,对恒定流,或物理量的时变导数为零,3.2 欧拉法的基本概念,2. 一维、二维和三维流动,若各空间点上的流动参数（主要是速度）是三个空

3、间坐标（x，y，z）和时间变量的函数，流动是三维流动。,若流动参数只是两个空间坐标（x，y）和时间变量的函数，流动是二维流动。,若流动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数，流动是一维流动，如管道和渠道内的流动。,3.2 欧拉法的基本概念,3. 均匀流和非均匀流,若质点的迁移加速度为零，即,流动是均匀流，反之是非均匀流。,【例3-1】已知速度场 。试问：（1）t=2s时，在（2，4）点的加速度是多少？（2）流动是恒定流还是非恒定流？（3）流动是均匀流还是非均匀流？,3.2 欧拉法的基本概念,【解】,(1)加速度,3.2 欧拉法的基本概念,以t=2s，x=2，y=4，代入上式，得,同理,(2)速度的时变导数,此流动是非恒定流。,(3)迁移加速度,此流动是均匀流。,3.2 欧拉法的基本概念,3.2.2 流 线,1. 流线的概念,流线是速度场的矢量线，它是某一确定时刻，在速度场中绘出的空间曲线，线上所有质点在该时刻的速度矢量都与曲线相切。,流线在一般情况下不相交，只在一些特殊点相交。流线是光滑的曲线或直线。,3.2 欧拉法的基本概念,恒定流流线的形状和位置不随时间变化。,流线为平行直线的流动是

4、均匀流。,3.2.2 流 线,3.2 欧拉法的基本概念,2. 流线方程,根据流线的定义，过该点的速度矢量 与 共线，满足,即,3.2 欧拉法的基本概念,展开上式，得流线微分方程,时间t是参变量，在积分求流线方程时将作为常数。,3.2 欧拉法的基本概念,3. 迹线方程,流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。,由运动方程,可得到迹线的微分方程,对恒定流，通过同一点的流线和迹线重合。,3.2 欧拉法的基本概念,【例3-1】已知速度场 。试求：（1）流线方程及t=0，t=1，t=2时的流线图；（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。,【解】,(1)由流线的微分方程式,积分得,或,3.2 欧拉法的基本概念,所得流线方程是直线方程，不同时刻（t=0,t=1,t=2)的流线图是三组不同斜率的直线族。,3.2 欧拉法的基本概念,(2)由迹线的微分方程式,即,上式积分得,由t=0，x=0，y=0得： c1=0， c2=0,3.2 欧拉法的基本概念,消去时间变量，得t=0时过（0，0）点的迹线方程,3.2.3 流管、过流断面、元流和总流,1. 流管、流束,在流场中任取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上

5、各点做流线，所构成的管状表面称为流管。充满流体的流管称为流束。,2. 过流断面,在流束上作出的与流线正交的横断面是过流断面。,3.2 欧拉法的基本概念,3. 元流和总流,元流是过流断面无限小的流束，断面上各点的流动参数均相等。,总流是过流断面为有限大小的流束，是由无数元流构成的，断面上各点的流动参数一般情况下不相同。,3.2 欧拉法的基本概念,3.2.4 流量、断面平均流速,1. 流量,单位时间通过某一过流断面的流体量称为该断面的流量。,体积流量,质量流量,3.2 欧拉法的基本概念,对于均值不可压缩流体，密度为常数，则,2. 断面平均流速,3.2 欧拉法的基本概念,【例3-1】已知半径为r0的圆管中，过流断面上的流速分 布为 ，式中umax是轴线上断面最大流速，y为 距管壁的距离。试求：（1）通过的流量和断面平均流 速；（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。,3.2 欧拉法的基本概念,【解】,（1）流量,3.2 欧拉法的基本概念,断面平均流速,（2）依题意，令,3.2 欧拉法的基本概念,3.3.1 连续性微分方程,dt时间x方向流出与流入控制体的质量差，即x方向净流出质量

6、为：,3.3 连续性方程,同理，y、z方向的净流出质量,3.3 连续性方程,dt时间控制体的总净流出质量,根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即,化简得,或,连续性微分方程,3.3 连续性方程,对均质不可压缩流体，式（3-21）化简为,3.3 连续性方程,对恒定流 ， ，式（3-21）化简为,速度场的散度 ，故不可压缩流体的连续性微分方程可表示为,3.3.2 连续性微分方程对总流的积分,设恒定总流，以过流断面1-1，2-2及侧壁面围成的固定空间为控制体，体积为V。,将不可压缩流体的连续性微分方程进行积分，得,3.3 连续性方程,上式第一项u1的方向与dA外法线方向相反，取负号。由此得到,或,3.3 连续性方程,【例3-1】变直径水管，已知粗管直径d1=200mm，断面平均流速v1=0.8m/s，细管直径d2=100mm ，试求细管管段的断面平均流速。,【解】,由总流连续性方程,3.3 连续性方程,【例3-2】输水管道经三通管分流，已知管径d1=d2 =200mm， d3=100mm，断面平均流速v1=3m/s，v2=2m/s，试求断面平均流速v3。,【解】,流入和流出三通管的流量相等，即,3.3 连续性方程,

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