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绝对值不等式中的含参问题(原创)

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常见问题

1、绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x的系数相同时。运用三角不等式：a-baba+b例1：求函数fx=x-3+x-4的最值解：x-3+x-4x-3-x-4=1，函数fx的最小值为1。例2：求函数fx=2x-1-2x-3的最值解：2x-1-2x-32x-1-2x-3=2，即得到-22x-1-2x-32，函数fx的最小值为-2，最大值为2。2、当绝对值中x的系数不相同时。零点分段，写出分段函数，画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。例：求函数fx=2x-2+x+2的最值解：当x-2-x+2-(2x-2) 即x-2-3x，当-2x1x+2-(2x-2) 即-2x1-x+4，当x1x+2+(2x-2) 即x13x。则有fx=-3x, x-2-x+4, -2x13x, x1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再

2、降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题 xD,afx恒成立，则afx恒成立，则afmax(x) 例1：x-3+x-4a对一切xR恒成立，求a的取值范围。析：先求函数fx=x-3+x-4的最小值，再afmin(x) 解：由x-3+x-4x-3-x-4=1，得fmin(x)= 1，则a1。例2：fx=2x-1-x+2，对于x0,1，有fxfmax(x)二次不等式。解：由于x0,1，则fx=2x-1-x-2，当0x12 -2x-1-x-2 即0x12-3x-1 当 12x1 2x-1-x-2 即12x1x-3则有f(x)=-3x-1, 0x12x-3, 12fmaxx=-1，解得t3+52。2、存在问题 xD,afx恒成立，则afx恒成立，则afmin(x)例1：若存在实数x,使2x-1-2x-3a成立，求a的取值范围。析：先求函数fx=2x-1-2x-3的最大值，再afmax(x)。解：2x-1-2x-32x-1-2x-3=2，即得到-22x-1-2x-32，函数fx的最大值为2，即fmaxx=2，则a2例2：若存在实数x,使x-a+x-13，求a的取值范围。析：先求fx=x-a+x-1的最小值，再3fmin(x)。解：x-a+x-1x-a-(x-1)=1-a, 即fminx=1-a。则1-a3，得-2a4。例3：设函数fx=2x-1+ax-1a0,a2，若存在xR，使f(x)12成立，求实数a的取值范围。析：先求fx=2x-1+ax-1a0,a2的最小值，再12fmin(x)。解：若0a12，即fx=2x-1+ax-1当x12-2x-1-(ax-1) 即x12-a+2x+2当12x1a2x-1-(ax-1) 即12x1a2-ax当x1a2x-1+(ax-1) 即x1aa+2x-2则fx=-a+2x+2, x12a-2x, 1ax2则1a12，即fx=ax-1+2x-1当x1a-ax-1-(2x-1) 即x1a-a+2x+2当1ax12ax-1-(2x-1) 即1ax12a-2x当x12ax-1+(2x-1) 即x12a+2x-2则fx=-a+2x+2, x12得fminx=f1a=1-2a，则有121-2a，得0a4。综上所述，a的取值范围为1,+(0,4

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