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离散数学 关系的性质

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  • 上传时间:2019-05-13
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    • 1、1,4.3 关系的性质,自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性,2,3,自反性与反自反性,例: 自反关系:A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系:实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系,4,实例,例1 A=1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1, R2, R3,R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的,5,对称性与反对称性,实例: 对称关系:A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系 反对称关系:恒等关系IA,空关系是A上的反对称关系.,6,实例,例2 设A1,2,3, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1,, R2, R3,, R4,R1 对称、反对称. R2 对称,不反对称. R3 反对称,不对称. R4 不对称、也不反对称.,7,传递性,实例: A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系,整除关系,包含关系, 真包含关系,8,实例,例3 设A1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1, R2, R3,R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不

      2、是A上的传递关系,9,关系性质的充要条件,设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 RIA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 RR1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR,10,实例,例.判断下图中关系的性质, 并说明理由.,(2)反自反,不是自反的;反对称,不是对称的; 是传递的.,(1)不自反也不反自反;对称, 不反对称;不传递.,(3)自反,不反自反;反对称,不是对称;不传递.,11,自反性证明,证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA . R 前提 推理过程 结论,例4 证明若 IA R ,则 R在A上自反. 证 任取x, xA IA R 因此 R 在 A 上是自反的.,12,对称性证明,证明模式 证明R在A上对称 任取 R . R 前提 推理过程 结论,例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取 R R 1 R 因此 R 在 A 上是对称的.,13,反对称性证明,证明模式 证明R在A上反对称 任取 RR . x=y 前提 推理过程 结论,例6 证明若 RR1IA ,

      3、 则R在A上反对称. 证 任取 R R R R 1 RR 1 IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.,14,传递性证明,证明模式 证明R在A上传递 任取, RR . R 前提 推理过程 结论,例7 证明若 RRR , 则R在A上传递. 证 任取, R R RR R 因此 R 在 A 上是传递的.,15,运算与性质的关系,16,4.4 关系的闭包,闭包定义 闭包的构造方法 集合表示 矩阵表示 图表示 闭包的性质,17,闭包定义,定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R, 使得R满足以下条件: (1)R是自反的(对称的或传递的) (2)RR (3)对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系 R 有 RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).,18,闭包的构造方法,定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = RR0 (2) s(R) = RR1 (3) t(R) = RR2R3 说明: 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并是有 限的. 若 R是自反的,则 r(R)=

      4、R; 若R是对称的,则 s(R)=R; 若R是传递的,则 t(R)=R.,19,(3)t(R)RR2R3,先证RR2 t(R)成立,为此只需证明对任意 的正整数n有 Rn t(R)即可。用归纳法。 n1时,有 R1R t(R)。 假设Rnt(R)成立,那么对任意的有 Rn+1Rn R t(RnR) t(t(R)t(R) t(R) (因为t(R)是传递的) 这就证明了Rn+1 t(R)。 由归纳法命题得证。,20,再证t(R)RR2成立,为此只须证明RR2是传递的。 任取,,则 RR2 RR2 t(Rt) s(Rs) ts(Rt Rs) ts(Rt Rs) ts(Rt+s) RR2 从而证明了RR2是传递的。,21,推论 设R为有穷集A上的关系,则存在正整数r 使得 t(R)=RR2Rr,22,闭包的构造方法(续),设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则 Mr = M + E Ms = M + M Mt = M + M2 + M3 + E 是和 M 同阶的单位矩阵, M是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑

      5、加.,23,闭包的构造方法(续),设关系R, r(R), r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边: (1)考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环,最终得到Gr . (2)考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, ij, 则在G 中加一条 xj 到 xi 的反方向边,最终得到Gs. (3)考察G的每个顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条 长度不超过n的 路径,如果从 xi 到路径中任何结点 xj 没有边,就加上这条 边. 当检查完所 有的顶点后就得到图Gt .,24,实例,例1 设A=a,b,c,d, R=, , R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.,R,r(R),s(R),t(R),25,R=, r(R) = RR0 =, =, s(R)= RR1 =, =, , t(R) = R1R2R3R4 =, , , , , =, ,26,M r= Ms= Mt=,27,定理7.11 设R是非空集合A上的关系, 则 (1)R是自反的当且仅当r(R)R。 (2)R是对称的当且仅当s(R)R。 (3)R是传递的当且仅当t(R)R。,

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