离散数学 关系的性质
27页1、1,4.3 关系的性质,自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性,2,3,自反性与反自反性,例: 自反关系:A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系:实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系,4,实例,例1 A=1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1, R2, R3,R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的,5,对称性与反对称性,实例: 对称关系:A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系 反对称关系:恒等关系IA,空关系是A上的反对称关系.,6,实例,例2 设A1,2,3, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1,, R2, R3,, R4,R1 对称、反对称. R2 对称,不反对称. R3 反对称,不对称. R4 不对称、也不反对称.,7,传递性,实例: A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系,整除关系,包含关系, 真包含关系,8,实例,例3 设A1,2,3, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1, R2, R3,R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不
2、是A上的传递关系,9,关系性质的充要条件,设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA R (2) R在A上反自反当且仅当 RIA= (3) R在A上对称当且仅当 R=R1 (4) R在A上反对称当且仅当 RR1IA (5) R在A上传递当且仅当 RRR,10,实例,例.判断下图中关系的性质, 并说明理由.,(2)反自反,不是自反的;反对称,不是对称的; 是传递的.,(1)不自反也不反自反;对称, 不反对称;不传递.,(3)自反,不反自反;反对称,不是对称;不传递.,11,自反性证明,证明模式 证明R在A上自反 任取x, xA . R 前提 推理过程 结论,例4 证明若 IA R ,则 R在A上自反. 证 任取x, xA IA R 因此 R 在 A 上是自反的.,12,对称性证明,证明模式 证明R在A上对称 任取 R . R 前提 推理过程 结论,例5 证明若 R=R1 , 则R在A上对称. 证 任取 R R 1 R 因此 R 在 A 上是对称的.,13,反对称性证明,证明模式 证明R在A上反对称 任取 RR . x=y 前提 推理过程 结论,例6 证明若 RR1IA ,
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