第11章 近代物理学

1、第11章 近代物理学狭义相对论部分11-1 一静止时的长度为100m的宇宙飞船，相对地面以的速度飞行。（1）在地面上观测，飞船的长度是多少？（2）如果地面上的观察者发现有两束光脉冲同时击中飞船的前后两端，那么飞船上的观察者看到的是哪一端先被击中，击中飞船两端的时间间隔是多少？ 解：（1）设飞船为S系，地球为S系，飞船相对地球运动，地球上看飞船长度收缩，依据运动长度收缩公式 其中 x= 100m，则地球上看到飞船的长度为（2）地面上的观察者发现有两束光脉冲同时击中飞船的前后两端，相当于两个事件，地球参考下用时空坐标（）（），对应飞船坐标系中两事件的时空坐标为（）（），两根据洛仑兹时间变换公式，飞船上两事件的时间差为已知，代入求在飞船上看，飞船的前端先击中11-2 固定于系轴上有一根米尺，两端各装一激光枪。固定于系轴上有另一根长刻度尺。当这根长刻度尺以的速度经过激光枪的枪口时，两个激光枪同时发射激光，在长刻度尺上打出两个痕迹，求系中这两个痕迹之间的距离，在系中的观测者将如何解释此结果。解：（1）激光发射打孔在S系中距离为一米，这个距离是同时测量得到的距离，而长刻度尺上留下的距离是静长，依据

2、运动长度收缩公式 其中 x= 1m，则地球上看到飞船的长度为（2）S系的激光枪同时击中长刻度尺的前后两处，相当于两个事件，S参考下用时空坐标（）（），对应S坐标系中两事件的时空坐标为（）（），两根据洛仑兹时间变换公式，飞船上两事件的时间差为已知，代入求由此看来，S系的前端先被打出刻痕，时间相对提前11-3 地球上的观测者发现，一艘以的速度航行的宇宙飞船将在后同一个以的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免相撞。解：两者相撞的时间间隔t = 5s是运动着的对象飞船和慧星发生碰撞的时间间隔，因此是运动时在飞船上观察的碰撞时间间隔t是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为= 4(s)11-4 在系中观察到在同一地点发生两个事件，第二事件发生在第一事件之后。在系中观察到第二事件在第一事件后发生。求在系中这两个事件的空间距离。解：在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差t = 2s是本征时，而S系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，t = 3s是运动时，根据时间膨胀公式，即 ，可以求两系统的相对速度为在S

3、系中A和B两事件的空间距离为= 3v= 6.71108(m)11-5 静止时质量为边长为的立方体，当它以速度沿与它的一个边平行方向相对系运动时，在系中测得它的体积将是多大？密度为多少？解：物体沿运动方向长度出现收缩，垂直运动方向长度不收缩，所以在S系中，物体的体积为，物体高速运动时，其质量也与速度有关，依据相对论质量-速度公式，所以得到在S系中物体的密度为。11-6 系相对系以速度沿（）轴方向作匀速直线运动。一根直竿在系中的静止长度为，与轴的夹角为，试求它在系中的长度和它与轴的夹角。解：直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为lx = lcos和ly = lsin在S系中观察直杆在y方向上的长度不变，即ly = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得，因此，在S系中直杆的长度为小于原来只的长度。在S系中，设尺与x轴的夹角为，可得夹角为运动时的夹角大于原来静止时对应的角11-7 在系中发生两个事件，它们的空间间隔为300m，时间间隔为。（1）设有一个相对系作匀速直线运动的参考系，在系中这两个事件在同一地点发生，求系相对系的运动速度。（2）在系中这两个事件的时间间隔是

4、多少？解：根据洛仑兹变换，得两个事件的空间公式， 由题意得：，x = 300m，x = 0代入上式，求得再利用时间间隔公式，代入数据，得到S系中，两事件的时间间隔11-8 把电子由静止加速到速率为，需对它做多少功？而由加速到需做多少功？解：根据功能关系和相对论动能关系式，有 ，得到把电子由静止加速到速率为，需对它做功为 把电子由加速到需做功。11-9 若一个电子的能量为5.0MeV，则该电子的动能、动量和速率各为多少？解：设电子速率为v，依据相对论质量-能量关系式，考虑到电子的静能为，得到，电子的动能 电子的动量大小为 11-10 两个质子各以的速度相对于一个静止点反向运动，求：（1）每个质子相对于该静止点的动量和能量；（2）一个质子在另一个质子处于静止的参考系中的动量和能量。解：（1）依据相对论能量和动量关系式，得到质子的能量为得到质子的动量为（2） 首先要计算相对速度，然后用相对论能量、相对论动量计算结果。设地球为s系，另一个质子设为s系，取，依据相对论速度变换关系式，一个质子相对另一个质子的速度为一个质子在另一个质子处于静止的参考系中的动量为一个质子在另一个质子处于静止的参考系中

5、的能量为。11-11 设电子和正电子发生湮没前都静止，求它们湮没后所转变的双光子能量。解：依据能能量守恒，电子和正电子发生湮没，其静能转变为双光子的能量，即11-12 一能量为的光子撞击一质量为的静止粒子，光子的能量被粒子全部吸收而形成一个新粒子，求这一新粒子的反冲速度和静质量。解：依据能量守恒，得到新粒子的能量为 ，设新粒子的速度为v，新粒子的静止质量为，则，光子的动量转化为整个新粒子的动量，再依据动量守恒列方程求解方程得到，上述结果，体现光子与电子貌是结合，是我们把它作为整体来考虑，实际上二者会分开，出现散射光子和反冲电子的情况，这个在康普顿散射中有讲述。11-13 电子速度取不同值时，其相对论动能与经典动能之比不同，试绘制其比值随速度变化曲线，给出时，比值的大小。解：电子的相对论动能电子的经典力学动能二者之比为当时，比值依次为1.00，1.01，1.03，1.07，1.14，1.24，1.39，1.64，2.08，3.20，12.4，由此可见，速度越大，相对论动能与经典动能的比值越大，我们对于电子速度接近光速的粒子，要用相对论动能计算其值，不能用经典力学的动能关系式计算高速运动粒

6、子的动能，否则误差很大。量子力学部分 11-14 人体也向外发出热辐射，为什么在黑暗中还是看不见人？答：人眼视觉神经对红外线不敏感，只对可见光敏感，所以有红外线，人在黑暗中还是看不见他人。 11-15 夜间地面降温主要是由于地面的热辐射。如果晴天夜里地面温度为-5C，按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？解：利用黑体辐射公式，地面晚上温度为，得到每平方米地面每秒失去的热量为11-16 在地球表面，太阳光的强度是1.0103W/m2。地球轨道半径以1.5108km计，太阳半径以7.0108 m计，并视太阳为黑体，试估算太阳表面的温度。解：考虑太阳辐射传输到地球上，类似点光源辐射能量不变，即太阳表面球面的辐射能扩展到以太阳为中心地球轨道半径为大球面的能量不损失，辐射总功率列方程并利用黑体辐射出射度公式 求得太阳表面温度为 11-17 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景热辐射相当于的黑体辐射，试求： 其单色辐射出射度(即单色辐射本领)的峰值波长；地球表面接收这一辐射的功率多大。解:（1）根据公式mT = b，可得辐射的极值波长为m = b/T = 2.89710-3/3 = 9.6

7、610-4(m)（2）地球的半径约为R = 6.371106m，表面积为 S = 4R2根据黑体表面在单位时间单位面积上辐射的能量公式 M = T4，得到地球表面接收此辐射的功率是P = MS = 5.6710-8344(6.371106)2= 2.34109(W)这里要注意，地球表面温度更高，不管白天还是晚上要辐射更多的能量，当然白天对着太阳的一面要接收太阳光。 11-18 铝的逸出功是，今有波长的光照射铝表面，求：（1）光电子的最大动能；（2）截止电压； （3）铝的红限波长。解：（1）光子的能量为E = h = hc/，根据爱因斯坦光电效应方程h = Ek + A，得到产生的光电子的最大初动能为Ek = h - A= 6.6310-343108/2.010-7-6.7210-19= 3.2310-19(J)（2）利用遏止电势差的公式为eUs = Ek，遏止电势差为Us = Ek/e = 3.2310-19/1.610-19=2.0(V)（3）铝的红限频率为 0 = A/h，红限波长为0 = c/0 = hc/A= 6.6310-343108/6.7210-19= 2.9610-7(

8、m) 11-19 求波长分别为m的红光和波长m的射线光子的能量、动量和质量。解：X射线光子的能量为E = h = hc/，动量为 p = h/；由E = hc/ = mc2，得其质量为m = h/c对于红光来说，能量为= 2.8410-19(J)，动量为= 9.4710-25(kgms-1)，质量为= 3.1610-36(kg)对于X射线来说，能量为= 7.95610-15(J)，动量为= 2.65210-23(kgms-1)，质量为= 8.8410-32(kg)11-20 求氢原子莱曼系的最小波长和最大波长。解：解：氢原子能级公式为，当n=1时，基态能级的能量为-2.1810-18(J) = -13.6(eV)，因此 依据波尔假设，当电子从n能级跃迁到m能级时放出（正）或吸收（负）光子的能量为。当m趋于无穷大，光子能量最大，频率最大，波长最小，列方程 ，求得 。氢原子莱曼系谱线中，当m=2时，光子能量最小，频率最小，波长最大，列方程 ，求得 11-21 设氢原子中的电子从的轨道上电离出去，需多少能量?解：氢原子能级公式为，当n=1时，基态能级的能量为-2.1810-18(J) = -13.6(eV)，因此 依据波尔假设，当电子从n能级跃迁到m能级时放出（正）或吸收（负）光子的能量为电离时，m趋于无穷大，当电子从n = 2的能级电离时要吸收能量为 = 3.4(eV)，因此需要3.4eV的能量11-22 电子和光子的波长都是m，它们的动量和总能量各是多少?解：依据德布罗意物质波波长公式，它们的动量都为= 3.3210-24(kgms-1)根据相对论能量-动量关系式 E2 = p2c2 + m02c4，得到电子的总能量为=3108(3.31510-24)2 + (9.110-313108)21/2=8.1910-14(J)因为光子的静止质量为零，得到光子的总能量为E = cp= 31083.3210-24 = 9.9510-16(J)11-23 室温下的中子称为热中子，试计算热中子

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